Chapitre IX • Convergence faible et...
Le passage à la limite dans (IX.11) donne donc
A
2
− −Ax
2
≤ ≤A
2
− −A
2
x
2
,
d’où il résulte clairement que Ax = A x. Mais cela impose x = 0, sinon A atteindrait
sa norme !
Exercice IX.4
(1) Soit q l’exposant conjugué de p défini par
1
p +
1
q = 1, et (e n ) la « base » canonique
de
q définie par e n (k) = δ n,k , où δ est le symbole de Kronecker. On sait que les (e n )
forment une partie totale de
q et aussi que (
p )
∗ de f
= E
∗
=
q (P 2.11).
Pour tous f ∈ E, X ∈ E
∗
, on a f, X =
+∞
n=1 f (n)X(n), où de même X est identifié à
{X(n) n∈N ∗ }.
(i) (a)⇒(b).
D’après (P 9.4),
w − lim
j→∞
f j = 0 ⇔ pour tout X, lim
j→∞
f j , X = 0.
(IX.12)
Si on choisit X = e n , on obtient : pour tout n, lim j→∞ f j (n) = 0. La première partie
est donc vraie. La deuxième partie est l’application du théorème de la borne uniforme
(P 2.13). Chaque f j est considéré comme un élément de E
∗∗ . Soit X ∈ E
∗ . On a par
hypothèse lim j→∞ f j , X = 0, donc
sup
j
|| f j , X| < ∞.
Le théorème de la borne uniforme nous donne alors
sup
j
sup
X≤1
|| f j , X|
< ∞.
Mais on sait que le plongement de E dans son bidual est isométrique, d’après le théorème
de Hahn-Banach (cf. P 3.8). La relation précédente se lit donc sup j f j < ∞, ce qu’il
fallait démontrer.
(ii) (b)⇒(a).
Si (b) est vrai, on étudie lim j→∞ f j , X pour X arbitraire dans
q pour appliquer ensuite
(P 9.4).
Si X = e n , n ∈ N
∗ est dans la « base » canonique de
q , on a f j , X = f j (n) → 0 par
hypothèse. Par linéarité, la relation est encore vraie si X ∈ V, où V = Vect(e n ). Mais V
est dense dans
q , car si X ∈
q , on a
X =
+∞
n=1
X(n)e n = lim
N→∞
X N , avec X N =
N
n=1
X(n)e n .
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Le passage à la limite dans (IX.11) donne donc
A
2
− −Ax
2
≤ ≤A
2
− −A
2
x
2
,
d’où il résulte clairement que Ax = A x. Mais cela impose x = 0, sinon A atteindrait
sa norme !
Exercice IX.4
(1) Soit q l’exposant conjugué de p défini par
1
p +
1
q = 1, et (e n ) la « base » canonique
de
q définie par e n (k) = δ n,k , où δ est le symbole de Kronecker. On sait que les (e n )
forment une partie totale de
q et aussi que (
p )
∗ de f
= E
∗
=
q (P 2.11).
Pour tous f ∈ E, X ∈ E
∗
, on a f, X =
+∞
n=1 f (n)X(n), où de même X est identifié à
{X(n) n∈N ∗ }.
(i) (a)⇒(b).
D’après (P 9.4),
w − lim
j→∞
f j = 0 ⇔ pour tout X, lim
j→∞
f j , X = 0.
(IX.12)
Si on choisit X = e n , on obtient : pour tout n, lim j→∞ f j (n) = 0. La première partie
est donc vraie. La deuxième partie est l’application du théorème de la borne uniforme
(P 2.13). Chaque f j est considéré comme un élément de E
∗∗ . Soit X ∈ E
∗ . On a par
hypothèse lim j→∞ f j , X = 0, donc
sup
j
|| f j , X| < ∞.
Le théorème de la borne uniforme nous donne alors
sup
j
sup
X≤1
|| f j , X|
< ∞.
Mais on sait que le plongement de E dans son bidual est isométrique, d’après le théorème
de Hahn-Banach (cf. P 3.8). La relation précédente se lit donc sup j f j < ∞, ce qu’il
fallait démontrer.
(ii) (b)⇒(a).
Si (b) est vrai, on étudie lim j→∞ f j , X pour X arbitraire dans
q pour appliquer ensuite
(P 9.4).
Si X = e n , n ∈ N
∗ est dans la « base » canonique de
q , on a f j , X = f j (n) → 0 par
hypothèse. Par linéarité, la relation est encore vraie si X ∈ V, où V = Vect(e n ). Mais V
est dense dans
q , car si X ∈
q , on a
X =
+∞
n=1
X(n)e n = lim
N→∞
X N , avec X N =
N
n=1
X(n)e n .
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