2. Solutions
Exercice IX.3
(1) Un espace de Hilbert s’identifie à son dual (P 5.7), donc la w*-topologie sur
E coïncide avec la w-topologie. D’après le théorème d’Alaoglu (P 9.6), la boule unité
fermée de E est w-compacte, donc séquentiellement compacte (théorème d’EberleinSmˇ ulyan). On peut ici être moins savant : soit (x n ) notre suite bornée, et V le sous-espace
fermé et séparable qu’elle engendre. D’après le procédé diagonal, on peut extraire une
sous-suite (y p ) telle qu’il existe y ∈ V avec :
Pour tout v ∈ V, lim
p→∞
y p , v = y, v.
(IX.9)
Ensuite, comme ce qui se passe dans V
⊥ joue un rôle inerte, on a encore (IX.9) pour
v ∈ H, ce qui montre que w − lim p→∞ y p = y.
(2) On utilise le caractère d’espace de Hilbert en exprimant les normes à l’aide du
produit scalaire (formule « a + b au carré » !), et puisque x n = 1 :
x n − x
2
= x n
2
+ x
2
− 2x n , x = 1 + x
2
− 2x n , x.
(IX.10)
D’après l’identification de E à son dual selon (P 5.7), la convergence faible de la suite
(x n ) vers x s’écrit :
Pour tout y ∈ E, lim
n
x n , y = x, y.
Le passage à la limite dans (IX.10) donne donc
lim
n→∞
x n − x
2
= 1 + x
2
− 2x, x = 1 − −x
2
.
(3) (i) Existence d’une suite (x n ).
Par définition de A, il existe une suite normée (x n ) n∈N ∗ telle que, lim n→∞ Ax n = A.
La suite (x n ) n∈N ∗ , incluse dans la boule unité fermée de E, admet d’après (1) une soussuite (y p ) p∈N ∗ qui est w-convergente, pour laquelle on a encore lim p→∞ Ay p = A.
Pour simplifier l’écriture, on supposera dans la suite que (x n ) elle-même est wconvergente dans B.
(ii) Limite de la suite (x n ).
Soit w − lim n x n = x. Passons à la limite dans l’inégalité
Ax n − Ax
2
≤ ≤A
2
x n − x
2
.
(IX.11)
Le membre de droite tend vers A
2 (1 − −x
2 ) d’après la question (1). Pour le membre de
gauche, on procède comme dans (1) en développant et en utilisant l’hypothèse sur x n :
Ax n − Ax
2
= Ax n
2
+ Ax
2
− 2Ax n , Ax
= Ax n
2
+ Ax
2
− 2x n , A
∗ Ax −→ →A
2
+ Ax
2
− 2x, A
∗ Ax
= A
2
+ Ax
2
− 2Ax
2
= A
2
− −Ax
2
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
227
Exercice IX.3
(1) Un espace de Hilbert s’identifie à son dual (P 5.7), donc la w*-topologie sur
E coïncide avec la w-topologie. D’après le théorème d’Alaoglu (P 9.6), la boule unité
fermée de E est w-compacte, donc séquentiellement compacte (théorème d’EberleinSmˇ ulyan). On peut ici être moins savant : soit (x n ) notre suite bornée, et V le sous-espace
fermé et séparable qu’elle engendre. D’après le procédé diagonal, on peut extraire une
sous-suite (y p ) telle qu’il existe y ∈ V avec :
Pour tout v ∈ V, lim
p→∞
y p , v = y, v.
(IX.9)
Ensuite, comme ce qui se passe dans V
⊥ joue un rôle inerte, on a encore (IX.9) pour
v ∈ H, ce qui montre que w − lim p→∞ y p = y.
(2) On utilise le caractère d’espace de Hilbert en exprimant les normes à l’aide du
produit scalaire (formule « a + b au carré » !), et puisque x n = 1 :
x n − x
2
= x n
2
+ x
2
− 2x n , x = 1 + x
2
− 2x n , x.
(IX.10)
D’après l’identification de E à son dual selon (P 5.7), la convergence faible de la suite
(x n ) vers x s’écrit :
Pour tout y ∈ E, lim
n
x n , y = x, y.
Le passage à la limite dans (IX.10) donne donc
lim
n→∞
x n − x
2
= 1 + x
2
− 2x, x = 1 − −x
2
.
(3) (i) Existence d’une suite (x n ).
Par définition de A, il existe une suite normée (x n ) n∈N ∗ telle que, lim n→∞ Ax n = A.
La suite (x n ) n∈N ∗ , incluse dans la boule unité fermée de E, admet d’après (1) une soussuite (y p ) p∈N ∗ qui est w-convergente, pour laquelle on a encore lim p→∞ Ay p = A.
Pour simplifier l’écriture, on supposera dans la suite que (x n ) elle-même est wconvergente dans B.
(ii) Limite de la suite (x n ).
Soit w − lim n x n = x. Passons à la limite dans l’inégalité
Ax n − Ax
2
≤ ≤A
2
x n − x
2
.
(IX.11)
Le membre de droite tend vers A
2 (1 − −x
2 ) d’après la question (1). Pour le membre de
gauche, on procède comme dans (1) en développant et en utilisant l’hypothèse sur x n :
Ax n − Ax
2
= Ax n
2
+ Ax
2
− 2Ax n , Ax
= Ax n
2
+ Ax
2
− 2x n , A
∗ Ax −→ →A
2
+ Ax
2
− 2x, A
∗ Ax
= A
2
+ Ax
2
− 2Ax
2
= A
2
− −Ax
2
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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