Chapitre IX • Convergence faible et...
(ii) Il reste comme points extrêmes possibles les points admettant une seule composante non nulle et de module 1.
Soit donc a = λe j , |λ| = 1. Supposons que a±u ∈ B, autrement dit : |λ±u j |+
n j |u n | ≤ 1
et en particulier |λ ± u j | ≤ 1. Le raisonnement fait pour B 2 montre que u j = 0 et ensuite
u n = 0 pour n j, d’où u = 0. Le point a est donc extrême.
(iii) Comme dans le cas de B 2 mais avec utilisation nécessaire de l’adhérence,
l’écriture de x ∈ B dans la base (e n , n ∈ N
∗ ) est celle d’un point dans co(Ext(B)). Soit en
effet x =
∞
n=1 α n λ n e n ∈ B, avec
|λ n | = 1, α n ≥ 0,
∞
n=1
α n ≤ 1.
On pose
u n = λ n e n ∈ Ext(B), l N =
N
n=1
α n , y N =
N
n=1
α n u n +
1 − l N
2
e 1 +
1 − l N
2
(−e 1 ).
Alors, on a y N ∈ co(Ext(B)), car
N
n=1
α n +
1 − l N
2
+
1 − l N
2
= l N + 1 − l N = 1. Et lim
N→∞
y N = x.
On note qu’ici le théorème de Krein-Milman ne s’applique pas, B n’est pas compacte en
norme (cf. P 9.2). La conclusion du théorème reste cependant valable.
Exercice IX.2
(1) On sait que la boule unité fermée d’un espace de Banach est un ensemble convexe.
Cela découle de la convexité de la fonction norme. Il s’agit de montrer ici (D 9.4), qu’aucun point a de la boule unité fermée M de c 0 n’est extrême.
Soit donc a = (a n ) ∈ M. On a lim n→∞ a n = 0, donc ∃ n 0 tel que |a n 0 | < 1. Soit r > 0
tel que |a n 0 | + r ≤ 1 et u = re n 0 , où (e n ) est la « base » canonique de c 0 . On a u 0 et
a ± u ∈ M, donc a n’est pas extrême.
(2) Si T : c 0 → E
∗ est une isométrie de c 0 sur le dual E
∗ d’un espace de Banach, soit
B la boule unité fermée de E
∗ . Le théorème d’Alaoglu (P 9.6) exprime que B est w*compacte. Le théorème de Krein-Milman (P 9.2) montre alors qu’elle est l’enveloppe
convexe fermée de l’ensemble de ses points extrêmes, et en particulier Ext(B) ∅.
Or, T est une isométrie linéaire, donc Ext(B) = T (Ext(M)). Mais on vient de voir que
Ext(M) = ∅ ! Cette contradiction montre que c 0 ne peut être isométrique à E
∗ . Avec un
peu plus d’efforts (propriété de Radon-Nikodym non possédée par c 0 ), on peut montrer
qu’il n’est pas non plus isomorphe à un espace dual E
∗ .
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(ii) Il reste comme points extrêmes possibles les points admettant une seule composante non nulle et de module 1.
Soit donc a = λe j , |λ| = 1. Supposons que a±u ∈ B, autrement dit : |λ±u j |+
n j |u n | ≤ 1
et en particulier |λ ± u j | ≤ 1. Le raisonnement fait pour B 2 montre que u j = 0 et ensuite
u n = 0 pour n j, d’où u = 0. Le point a est donc extrême.
(iii) Comme dans le cas de B 2 mais avec utilisation nécessaire de l’adhérence,
l’écriture de x ∈ B dans la base (e n , n ∈ N
∗ ) est celle d’un point dans co(Ext(B)). Soit en
effet x =
∞
n=1 α n λ n e n ∈ B, avec
|λ n | = 1, α n ≥ 0,
∞
n=1
α n ≤ 1.
On pose
u n = λ n e n ∈ Ext(B), l N =
N
n=1
α n , y N =
N
n=1
α n u n +
1 − l N
2
e 1 +
1 − l N
2
(−e 1 ).
Alors, on a y N ∈ co(Ext(B)), car
N
n=1
α n +
1 − l N
2
+
1 − l N
2
= l N + 1 − l N = 1. Et lim
N→∞
y N = x.
On note qu’ici le théorème de Krein-Milman ne s’applique pas, B n’est pas compacte en
norme (cf. P 9.2). La conclusion du théorème reste cependant valable.
Exercice IX.2
(1) On sait que la boule unité fermée d’un espace de Banach est un ensemble convexe.
Cela découle de la convexité de la fonction norme. Il s’agit de montrer ici (D 9.4), qu’aucun point a de la boule unité fermée M de c 0 n’est extrême.
Soit donc a = (a n ) ∈ M. On a lim n→∞ a n = 0, donc ∃ n 0 tel que |a n 0 | < 1. Soit r > 0
tel que |a n 0 | + r ≤ 1 et u = re n 0 , où (e n ) est la « base » canonique de c 0 . On a u 0 et
a ± u ∈ M, donc a n’est pas extrême.
(2) Si T : c 0 → E
∗ est une isométrie de c 0 sur le dual E
∗ d’un espace de Banach, soit
B la boule unité fermée de E
∗ . Le théorème d’Alaoglu (P 9.6) exprime que B est w*compacte. Le théorème de Krein-Milman (P 9.2) montre alors qu’elle est l’enveloppe
convexe fermée de l’ensemble de ses points extrêmes, et en particulier Ext(B) ∅.
Or, T est une isométrie linéaire, donc Ext(B) = T (Ext(M)). Mais on vient de voir que
Ext(M) = ∅ ! Cette contradiction montre que c 0 ne peut être isométrique à E
∗ . Avec un
peu plus d’efforts (propriété de Radon-Nikodym non possédée par c 0 ), on peut montrer
qu’il n’est pas non plus isomorphe à un espace dual E
∗ .
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