Chapitre IX • Convergence faible et...
Tout élément x ∈ E définit δ x ∈ F
∗∗ par la formule δ x ( f ) = f (x), donc il y a plus de q L
que de p x , et cette nouvelle topologie est plus fine que celle de F 3 , a fortiori séparante,
et elle a davantage d’ouverts : Ω 2 ⊇ Ω 3 .
(ii) Topologie de la norme et topologie faible.
On a
q L ( f ) ≤ ≤L|| f , pour tout f ∈ F, pour tout L ∈ F
∗
.
Cela montre que la topologie de F 1 est plus fine que celle de F 2 , et a donc davantage
d’ouverts : Ω 1 ⊇ Ω 2 . Finalement, Ω 3 ⊆ Ω 2 ⊆ Ω 1 .
(2) Cela résulte de l’étude générale faite en (1).
(3) Puisque Ω 3 ⊆ Ω 2 ⊆ Ω 1 , on a aussi Φ 3 ⊆ Φ 2 ⊆ Φ 1 et on a trivialement les
inclusions des adhérences en sens inverse : M 1 ⊆ M 2 ⊆ M 3 .
(4) On cherche toujours les exemples les plus simples possibles en pensant aux espaces de dimension finie et aux ensembles finis ou dénombrables.
(i) E de dimension finie.
Ce cas est trivial au niveau d’un Mastère. Les trois topologies sont les mêmes, on laisse
les détails au lecteur.
(ii) M est un ensemble fini.
Comme les topologies sont séparées, pour chacune des topologies un ensemble réduit
à un point est un ensemble fermé donc tout ensemble fini est fermé. Alors M = M 1 =
M 2 = M 3 .
(iii) E = E
∗∗ .
Alors la w-toplogie et la w*-topologie sur F = E
∗ coïncident et F 2 = F 3 . Les ensembles
M 2 et M 3 sont identiques. Ceci est par exemple vrai si E est un espace de Hilbert, par
application de (P 4.7), ou encore si E =
p
, 1 < p < ∞ d’après (P 1.17).
(iv) M est un ensemble dénombrable. Premier exemple.
Soit E =
2 muni de sa base canonique (e n , n ∈ N
∗ ) ; E = E
∗
= F, donc F 2 = F 3 . On
choisit M = {e n , n ∈ N
∗
}.
(a) Dans F 1 , si p q, e p − e q =
√
2. Il en résulte que tous les points de M
sont isolés, donc M est fermé, et coïncide avec son adhérence M 1 .
(b) Dans F 2 , soit f ∈ E = E
∗∗
, f =
+∞
p=1 f, e p e p .
Comme
+∞
p=1 || f, e p |
2
< +∞ on a lim p f, e p = 0. Ceci exprime que la suite (e n ) n∈N ∗ est
convergente vers 0 dans F 2 . Donc 0 ∈ M 2 , et on a bien sûr M 2 = M ∪ {0}, puisque la
topologie de F 2 est séparée.
On a obtenu M 1 M 2 = M 3 .
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Tout élément x ∈ E définit δ x ∈ F
∗∗ par la formule δ x ( f ) = f (x), donc il y a plus de q L
que de p x , et cette nouvelle topologie est plus fine que celle de F 3 , a fortiori séparante,
et elle a davantage d’ouverts : Ω 2 ⊇ Ω 3 .
(ii) Topologie de la norme et topologie faible.
On a
q L ( f ) ≤ ≤L|| f , pour tout f ∈ F, pour tout L ∈ F
∗
.
Cela montre que la topologie de F 1 est plus fine que celle de F 2 , et a donc davantage
d’ouverts : Ω 1 ⊇ Ω 2 . Finalement, Ω 3 ⊆ Ω 2 ⊆ Ω 1 .
(2) Cela résulte de l’étude générale faite en (1).
(3) Puisque Ω 3 ⊆ Ω 2 ⊆ Ω 1 , on a aussi Φ 3 ⊆ Φ 2 ⊆ Φ 1 et on a trivialement les
inclusions des adhérences en sens inverse : M 1 ⊆ M 2 ⊆ M 3 .
(4) On cherche toujours les exemples les plus simples possibles en pensant aux espaces de dimension finie et aux ensembles finis ou dénombrables.
(i) E de dimension finie.
Ce cas est trivial au niveau d’un Mastère. Les trois topologies sont les mêmes, on laisse
les détails au lecteur.
(ii) M est un ensemble fini.
Comme les topologies sont séparées, pour chacune des topologies un ensemble réduit
à un point est un ensemble fermé donc tout ensemble fini est fermé. Alors M = M 1 =
M 2 = M 3 .
(iii) E = E
∗∗ .
Alors la w-toplogie et la w*-topologie sur F = E
∗ coïncident et F 2 = F 3 . Les ensembles
M 2 et M 3 sont identiques. Ceci est par exemple vrai si E est un espace de Hilbert, par
application de (P 4.7), ou encore si E =
p
, 1 < p < ∞ d’après (P 1.17).
(iv) M est un ensemble dénombrable. Premier exemple.
Soit E =
2 muni de sa base canonique (e n , n ∈ N
∗ ) ; E = E
∗
= F, donc F 2 = F 3 . On
choisit M = {e n , n ∈ N
∗
}.
(a) Dans F 1 , si p q, e p − e q =
√
2. Il en résulte que tous les points de M
sont isolés, donc M est fermé, et coïncide avec son adhérence M 1 .
(b) Dans F 2 , soit f ∈ E = E
∗∗
, f =
+∞
p=1 f, e p e p .
Comme
+∞
p=1 || f, e p |
2
< +∞ on a lim p f, e p = 0. Ceci exprime que la suite (e n ) n∈N ∗ est
convergente vers 0 dans F 2 . Donc 0 ∈ M 2 , et on a bien sûr M 2 = M ∪ {0}, puisque la
topologie de F 2 est séparée.
On a obtenu M 1 M 2 = M 3 .
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