Chapitre IX • Convergence faible et...
A désignera toujours l’adhérence de A ⊂ E pour la topologie faible σ(E, E
∗ ).
(1) Montrer que tout voisinage ouvert de 0 pour la topologie faible σ(E, E
∗ ) contient
un espace vectoriel de dimension 1 (une droite).
(2) Montrer que S ⊇ B.
(3) Montrer que S = B.
Exercice IX.11
E est un espace de Banach complexe, F = E
∗ son dual, et (x n ) n∈N ∗ une suite de E.
(1) On suppose que
Pour tout f ∈ E
∗
, (x n , f ) n∈N ∗ est une suite de Cauchy .
(IX.3)
(i) Montrer que l’ensemble {x n , n ∈ N
∗
} est borné.
(ii) On suppose de plus que, pour une sous-suite (x n(p) ) p∈N ∗ de la suite (x n ) n∈N ∗ ,
Il existe y ∈ E telle que y = w − lim
p
x n(p) .
(IX.4)
Montrer que y = w − lim n x n .
(2) On suppose que E est réflexif, c’est-à-dire (cf. D 2.9) :
(E
∗ )
∗
= E.
(IX.5)
Montrer que toute suite bornée de E admet une sous-suite w-convergente.
(3) E et la suite (x n ) n∈N ∗ vérifient (IX.3) et (IX.4). Montrer que la suite (x n ) n∈N ∗ est
faiblement convergente dans E.
Exercice IX.12 : Propriété de Banach-Saks
H est un espace de Hilbert complexe, et (x n ) une suite de vecteurs de H convergeant
faiblement vers 0, c’est-à-dire :
x n , x → 0 pour tout x ∈ H.
(IX.6)
Cette suite faiblement convergente est bornée en norme d’après P 9.4 :
sup
n
x n = C < ∞.
On se propose de montrer que (x n ) contient une sous-suite (y n ) dont les moyennes de
Cesàro convergent en norme vers 0 (Propriété de Banach-Saks, possédée aussi par les
espaces L
p
, 1 < p < ∞).
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A désignera toujours l’adhérence de A ⊂ E pour la topologie faible σ(E, E
∗ ).
(1) Montrer que tout voisinage ouvert de 0 pour la topologie faible σ(E, E
∗ ) contient
un espace vectoriel de dimension 1 (une droite).
(2) Montrer que S ⊇ B.
(3) Montrer que S = B.
Exercice IX.11
E est un espace de Banach complexe, F = E
∗ son dual, et (x n ) n∈N ∗ une suite de E.
(1) On suppose que
Pour tout f ∈ E
∗
, (x n , f ) n∈N ∗ est une suite de Cauchy .
(IX.3)
(i) Montrer que l’ensemble {x n , n ∈ N
∗
} est borné.
(ii) On suppose de plus que, pour une sous-suite (x n(p) ) p∈N ∗ de la suite (x n ) n∈N ∗ ,
Il existe y ∈ E telle que y = w − lim
p
x n(p) .
(IX.4)
Montrer que y = w − lim n x n .
(2) On suppose que E est réflexif, c’est-à-dire (cf. D 2.9) :
(E
∗ )
∗
= E.
(IX.5)
Montrer que toute suite bornée de E admet une sous-suite w-convergente.
(3) E et la suite (x n ) n∈N ∗ vérifient (IX.3) et (IX.4). Montrer que la suite (x n ) n∈N ∗ est
faiblement convergente dans E.
Exercice IX.12 : Propriété de Banach-Saks
H est un espace de Hilbert complexe, et (x n ) une suite de vecteurs de H convergeant
faiblement vers 0, c’est-à-dire :
x n , x → 0 pour tout x ∈ H.
(IX.6)
Cette suite faiblement convergente est bornée en norme d’après P 9.4 :
sup
n
x n = C < ∞.
On se propose de montrer que (x n ) contient une sous-suite (y n ) dont les moyennes de
Cesàro convergent en norme vers 0 (Propriété de Banach-Saks, possédée aussi par les
espaces L
p
, 1 < p < ∞).
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