1. Énoncés
(2) L’opérateur S est celui de l’Ex. VII.9. En utilisant les propriétés de ce chapitre,
redémontrer que l’isométrie S n’est pas un opérateur compact( !). Montrer que, plus
précisément, on a d(S , K(H)) = 1.
Exercice IX.7
E = C 0 (R) est l’espace vectoriel des fonctions continues sur R, à valeurs complexes, de
limite nulle à l’infini, soit encore telles que
Pour tout r > 0, K r
de f
= {x ∈ R tels que | f (x)| ≥ r} est compact.
(IX.2)
(1) Montrer que les éléments de E sont des fonctions bornées.
(2) On munit E de la norme uniforme f u = sup(| f (x)| ; x ∈ R). On le note alors E u .
Montrer que E u est un espace de Banach.
(3) Montrer que la boule unité B = { f ∈ E u tel que f u ≤ 1} n’admet pas de point
extrême.
(4) Montrer que E u n’est pas isométrique au dual d’un espace de Banach.
Exercice IX.8
Soit E = c 0 (cf. l’Ex. VII.10). On sait que F = E
∗ s’identifie à l’espace de Banach
1 ,
dont on note (e n , n ∈ N
∗ ) la « base » canonique. On étudie cette suite dans F muni de
l’une des topologies σ(F, F
∗ ), ou σ(F, E), ou de la norme.
La suite (e n ) n∈N ∗ est-elle convergente pour l’une de ces trois topologies ?
Exercice IX.9
E = C(I) est l’espace de Banach des fonctions continues sur I = [0, 1] à valeurs complexes muni de la norme uniforme f u = sup(| f (x)| ; x ∈ J).
On rappelle (théorème de Riesz) que le dual de E s’identifie à l’ensemble des mesures
de Borel μ sur I. Elles agissent par f, μ =
f dμ, ∀ f ∈ E.
Soit ( f n ) n∈N ∗ la suite de fonctions définies par
f n (x) =
1 − nx si x ∈ [0,
1
n ]
0 si x ∈ [
1
n
, 1].
Montrer que, pour toute μ, ( f n , μ) n∈N ∗ est une suite de Cauchy mais que ( f n ) n∈N ∗ n’est
pas faiblement convergente dans E (cf. D 9.6). On dit que E n’est pas faiblement séquentiellement complet.
Exercice IX.10
E est un espace de Banach de dimension infinie.
On note B = {x ∈ E ; x ≤ 1} sa boule unité fermée, S = {x ∈ E ; x = 1} sa sphère
unité.
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