Chapitre IX • Convergence faible et...
(2) Soit (x n ) n∈N ∗ une suite normée de E faiblement convergente vers x. Établir l’égalité
lim
n
x n − x
2
= 1 − −x
2
.
(IX.1)
(3) Soit A ∈ L(E, F) tel qu’aucun vecteur x normé ne vérifie A = Ax (norme non
atteinte).
Montrer l’existence d’une suite normée (x n ) n∈N ∗ faiblement convergente telle que
A = lim n Ax n . Montrer que toute telle suite converge faiblement vers zéro.
Exercice IX.4
E est l’espace
p
, 1 < p < ∞. On note f = ( f (1), . . . , f (n), . . .) un élément f de E. Soit
( f j ) j∈N ∗ une suite de
p
, 1 < p < ∞.
(1) Montrer l’équivalence des propriétés
(a) w − lim j→∞ f j = 0
(b) Pour tout n ∈ N
∗
, lim j→∞ f j (n) = 0 ; et sup j∈N ∗ f j < ∞.
(2) Expliciter cette équivalence si E est un espace de Hilbert séparable de dimension
infinie.
Exercice IX.5
E est un espace de Banach complexe. On note F = E
∗ .
On désigne par F 1 l’espace F muni de la topologie de la norme, F 2 l’espace F muni
de la w-topologie σ(F, F
∗ ) (topologie faible) et F 3 l’espace F muni de la w*-topologie
σ(F, E) (topologie *-faible).
Ω i est la famille des ouverts de F i , Φ i la famille des fermés, i = 1, 2, 3.
Pour un sous-ensemble M de F, on note M 1 son adhérence pour la topologie de la
norme, M 2 son adhérence pour la w-topologie, M 3 son adhérence pour la w*-topologie.
(1) Comparer les familles Ω i , i = 1, 2, 3 (selon les données des définitions (D 9.6) et
(D 9.7) en particulier).
(2) Montrer que, pour i = 1, 2, 3, F i est un EVTLC (D 9.3).
(3) Quelles relations d’inclusion y a-t-il entre les trois ensembles M 1 , M 2 , M 3 ?
(4) Chercher des exemples de couples (E, M) montrant les égalités ou les différences
possibles entre M 1 , M 2 , M 3 (on pourra utiliser les espaces les plus simples connus et
l’espace c 0 introduit dans l’Ex. I.1).
Exercice IX.6
(1) L’opérateur A est celui de l’Ex. VII.6. En utilisant les propriétés de ce chapitre,
établir une condition nécessaire pour que A soit un opérateur compact.
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(2) Soit (x n ) n∈N ∗ une suite normée de E faiblement convergente vers x. Établir l’égalité
lim
n
x n − x
2
= 1 − −x
2
.
(IX.1)
(3) Soit A ∈ L(E, F) tel qu’aucun vecteur x normé ne vérifie A = Ax (norme non
atteinte).
Montrer l’existence d’une suite normée (x n ) n∈N ∗ faiblement convergente telle que
A = lim n Ax n . Montrer que toute telle suite converge faiblement vers zéro.
Exercice IX.4
E est l’espace
p
, 1 < p < ∞. On note f = ( f (1), . . . , f (n), . . .) un élément f de E. Soit
( f j ) j∈N ∗ une suite de
p
, 1 < p < ∞.
(1) Montrer l’équivalence des propriétés
(a) w − lim j→∞ f j = 0
(b) Pour tout n ∈ N
∗
, lim j→∞ f j (n) = 0 ; et sup j∈N ∗ f j < ∞.
(2) Expliciter cette équivalence si E est un espace de Hilbert séparable de dimension
infinie.
Exercice IX.5
E est un espace de Banach complexe. On note F = E
∗ .
On désigne par F 1 l’espace F muni de la topologie de la norme, F 2 l’espace F muni
de la w-topologie σ(F, F
∗ ) (topologie faible) et F 3 l’espace F muni de la w*-topologie
σ(F, E) (topologie *-faible).
Ω i est la famille des ouverts de F i , Φ i la famille des fermés, i = 1, 2, 3.
Pour un sous-ensemble M de F, on note M 1 son adhérence pour la topologie de la
norme, M 2 son adhérence pour la w-topologie, M 3 son adhérence pour la w*-topologie.
(1) Comparer les familles Ω i , i = 1, 2, 3 (selon les données des définitions (D 9.6) et
(D 9.7) en particulier).
(2) Montrer que, pour i = 1, 2, 3, F i est un EVTLC (D 9.3).
(3) Quelles relations d’inclusion y a-t-il entre les trois ensembles M 1 , M 2 , M 3 ?
(4) Chercher des exemples de couples (E, M) montrant les égalités ou les différences
possibles entre M 1 , M 2 , M 3 (on pourra utiliser les espaces les plus simples connus et
l’espace c 0 introduit dans l’Ex. I.1).
Exercice IX.6
(1) L’opérateur A est celui de l’Ex. VII.6. En utilisant les propriétés de ce chapitre,
établir une condition nécessaire pour que A soit un opérateur compact.
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