CONVERGENCE
FAIBLE ET...
IX
1 ÉNONCÉS
Exercice IX.1
(1) E 2 est un espace vectoriel complexe de dimension 2, dont (e 1 , e 2 ) est une base
fixée. On norme E 2 par :
Pour tout x = x 1 e 1 + x 2 e 2 , x = |x 1 | + |x 2 |,
et on note B 2 = {x ∈ E 2 ; x ≤ 1} sa boule unité fermée.
Montrer que les points extrêmes de B 2 sont les x de la forme
x = e 1 exp(iα) ou x = e 2 exp(iα), α ∈ [0, 2π[.
(2) E est l’espace
1 , on note sa norme usuelle et B = {x ∈
1 ; x ≤ 1} sa boule
unité fermée (cf. D 1.15).
(i) Déterminer l’ensemble des points extrêmes de B.
(ii) Montrer que B = co(Ext(B)) (enveloppe convexe fermée de l’ensemble des
points extrêmes de B).
Exercice IX.2
c 0 est l’espace de Banach des suites complexes x = (x n ) n∈N ∗ telles que lim n→+∞ x n = 0,
normé par x = sup(|x n | ; n ∈ N
∗ ). (c 0 a été étudié dans l’Ex. I.1 et l’Ex. II.7.)
(1) Montrer que la boule unité fermée de c 0 n’admet aucun point extrême.
(2) Montrer que c 0 n’est isométrique à aucun dual d’espace de Banach.
Exercice IX.3
Soient E, F deux espaces de Hilbert complexes.
(1) Soit (x n ) n∈N ∗ une suite normée de E. Elle admet toujours une sous-suite faiblement
convergente. Pourquoi ? (cf. D 9.8)
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