Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
On note de plus que ∀x ∈ H, on a Ax ≤ ≤x, donc que A ≤ 1 et la relation Ae 1 = e 1
montre que A = 1.
(ii) A auto-adjoint. Par (P 6.12), on reconnaît le caractère auto-adjoint de A au
fait que ∀x ∈ H, Ax, x ∈ R. Or, x =
+∞
p=1 x p e p entraîne :
Ax, x =
x 1 e 1 +
+∞
n=1
1
n
(x 2n e 2n+1 + x 2n+1 e 2n ), x 1 e 1 +
+∞
n=1
(x 2n e 2n + x 2n+1 e 2n+1 )
= x 1 x 1 +
+∞
n=1
1
n
(x 2n x 2n+1 + x 2n x 2n+1 ) .
Ax, x est donc réel, et A est auto-adjoint.
(2) A est auto-adjoint, a fortiori normal (D 6.2 et D 6.3). S’il admet une écriture
d’opérateur intégral de Hilbert-Schmidt, la propriété (P 8.5) permet la construction du
noyau K, qui est déterminé à partir des couples (valeurs propres, espaces propres) de A.
(i) Valeurs propres, espaces propres de A.
Ils sont ici faciles à déterminer.
e 1 est vecteur propre pour la valeur propre 1. On a d’autre part :
A(e 2n + e 2n+1 ) =
1
n
(e 2n + e 2n+1 ) et A(e 2n − e 2n+1 ) = −
1
n
(e 2n − e 2n+1 ).
Pour n entier ≥ 1, notons
f 1 = e 1 , f 2n =
1
√
2
(e 2n + e 2n+1 ) et f 2n+1 =
1
√
2
(e 2n − e 2n+1 ).
( f n , n ∈ N
∗ ) est une base orthonormale de H formée de vecteurs propres.
La valeur propre 1 admet l’espace propre Vect ( f 1 , f 2 ); les autres valeurs
propres sont simples ; les couples (valeurs propres, espaces propres) sont alors
(
1
n , Vect ( f 2n )), (−
1
n , Vect ( f 2n+1 )).
(ii) Écriture du noyau K.
Selon (P 8.5), si ∀ f ∈ H, (A f )(x) =
+π
−π
K(x, y) f (y)
dy
2π , alors
K(x, y) =
+∞
n=1
λ n f n (x) f n (y) avec λ 1 = 1, λ 2n =
1
n
, λ 2n+1 = −
1
n
.
(VIII.42)
Le système (g n,p (x, y) = f n (x) f p (y) ;n, p ∈ N
∗ ) est une base orthonormale de L
2 ([−π, +π]
2
,
dxdy
4π 2 ), et l’écriture de (VIII.42) est celle d’un élément de
L
2 ([−π, +π]
2
,
dxdy
4π 2 ) dont la norme est K
2
2 = 1 + 2
+∞
n=1
1
n 2 < ∞. On voit donc que
K ∈ L
2 ([−π, +π]
2
,
dxdy
4π 2 ).
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