2. Solutions
L’opérateur intégral B donné par (B f )(x) =
+π
−π
K(x, y) f (y)
dy
2π a les mêmes couples (valeurs propres, espaces propres) que A. Comme les vecteurs propres ( f n ; n ∈ N
∗ ) forment
une base orthonormale de H, on a A = B et A est bien un opérateur de Hilbert-Schmidt,
dont le noyau K peut s’expliciter à l’aide des e n :
∀n ∈ N
∗
, λ 2n f 2n (x) f 2n (y) + λ 2n+1 f 2n+1 (x) f 2n+1 (y)
=
1
n
[(cos nx + sin nx)(cos ny + sin ny) + (cos nx − sin nx)(cos ny − sin ny)]
=
2
n
cos n(x − y).
Donc finalement K(x, y) = 1 +
+∞
n=1
2
n
cos n(x − y).
La convergence de la série est valable au sens de la norme dans L
2 ([−π, +π]
2 pour la
mesure
dxdy
4π 2 .
(3) (i) Existence et unicité de solution.
L’équation Ah − 2h = g est une égalité dans l’espace H. L’étude précédente montre que 2
n’est pas une valeur propre de A ; comme A est un opérateur compact, ceci signifie que 2
n’est pas un point du spectre de A. Alors l’équation proposée admet une solution unique
(A − 2I est inversible).
(ii) Détermination de la solution.
Comme on l’a déjà dit, la solution existe et est unique. Le calcul va confirmer ce fait.
Plaçons-nous sur la base orthonormale de l’énoncé ( f n ; n ∈ N
∗ ), et écrivons g sur cette
base.
(a) Écriture de g.
f 2 (x) = cos x + sin x, f 3 (x) = cos x − sin x, donc g =
f 2 + f 3
2
.
(VIII.43)
(b) Solution. Si h =
∞
n=1 h n f n , nous avons
Ah − 2h = −h 1 f 1 +
∞
n=1
h 2n
1
n
− 2
f 2n + h 2n+1
−
1
n
− 2
f 2n+1
.
(VIII.44)
La comparaison des seconds membres de (VIII.43) et (VIII.44) conduit à
h n = 0 si n 2 ou 3, h 2 = −
1
2
, h 3 = −
1
6
,
et finalement h = −
1
2
f 2 −
1
6
f 3 , c’est-à-dire :
h(x) = −
1
3
(2 cos x + sin x).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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