2. Solutions
Mais on peut écrire
A f n , f n =
R 2
e
−|x−y| f n (x) f n (y)dxdy =
0≤x,y≤n
e
−|x−y| dxdy
= 2
0≤y≤x≤n
e
−(x−y) dxdy = 2
n
0
e
−x
x
0
e
y dy
dx
= 2
n
0
(1 − e
−x )dx = 2n + O(1),
tandis que f n
2
= n. Reportant ces valeurs dans (VIII.40), nous obtenons
A ≥
2n + O(1)
n
= 2 + O
1
n
.
Faisant tendre n vers l’infini, nous obtenons A ≥ 2 et finalement A = 2.
(3) Il suffit (cf. chapitre VII et Ex. VII.19) de contredire la propriété (P 9.11) d’un
opérateur compact en mettant en évidence une suite orthonormée (g n ) telle que Ag n , g n
ne tende pas vers zéro. La suite proposée g n = 1 [n,n+1[ est bien une suite orthonormée,
car les supports des g n sont deux à deux disjoints. Et d’autre part, un calcul presque
identique à celui de (2) donne, posant x = u, x − y = v :
Ag n , g n =
n≤x,y≤n+1
e
−|x−y| dxdy
=
n≤u≤n+1,−1≤v≤1
e
−|v| dudv =
1
−1
e
−|v| dv
de f
= δ > 0.
On a ainsi établi le caractère non-compact de l’opérateur A.
Remarque : Le noyau de l’opérateur est une fonction continue mais n’est pas de carré
sommable sur l’intervalle d’intégration non borné envisagé ici. L’opérateur peut alors
être non-compact ; il fait partie d’une catégorie plus générale d’opérateurs intégraux
(voir par exemple [W] et [Y]).
Exercice VIII.9
(1) (i) A ∈ L(H). Posons v n = Ae n . La suite (v n ) est orthogonale bornée par 1 en
norme d’après la définition de l’énoncé, ce qui donne envie de définir A sur H tout entier
par la formule :
Ax =
∞
n=1
x n v n si x =
∞
n=1
x n e n avec
∞
n=1
|x n |
2
< ∞.
(VIII.41)
Ax est correctement défini car les sommes partielles de la série
x n v n forment une suite
de Cauchy :
q
n=p+1
x n v n
2
=
q
n=p+1
|x n |
2
v n
2
≤
q
n=p+1
|x n |
2
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
213
Mais on peut écrire
A f n , f n =
R 2
e
−|x−y| f n (x) f n (y)dxdy =
0≤x,y≤n
e
−|x−y| dxdy
= 2
0≤y≤x≤n
e
−(x−y) dxdy = 2
n
0
e
−x
x
0
e
y dy
dx
= 2
n
0
(1 − e
−x )dx = 2n + O(1),
tandis que f n
2
= n. Reportant ces valeurs dans (VIII.40), nous obtenons
A ≥
2n + O(1)
n
= 2 + O
1
n
.
Faisant tendre n vers l’infini, nous obtenons A ≥ 2 et finalement A = 2.
(3) Il suffit (cf. chapitre VII et Ex. VII.19) de contredire la propriété (P 9.11) d’un
opérateur compact en mettant en évidence une suite orthonormée (g n ) telle que Ag n , g n
ne tende pas vers zéro. La suite proposée g n = 1 [n,n+1[ est bien une suite orthonormée,
car les supports des g n sont deux à deux disjoints. Et d’autre part, un calcul presque
identique à celui de (2) donne, posant x = u, x − y = v :
Ag n , g n =
n≤x,y≤n+1
e
−|x−y| dxdy
=
n≤u≤n+1,−1≤v≤1
e
−|v| dudv =
1
−1
e
−|v| dv
de f
= δ > 0.
On a ainsi établi le caractère non-compact de l’opérateur A.
Remarque : Le noyau de l’opérateur est une fonction continue mais n’est pas de carré
sommable sur l’intervalle d’intégration non borné envisagé ici. L’opérateur peut alors
être non-compact ; il fait partie d’une catégorie plus générale d’opérateurs intégraux
(voir par exemple [W] et [Y]).
Exercice VIII.9
(1) (i) A ∈ L(H). Posons v n = Ae n . La suite (v n ) est orthogonale bornée par 1 en
norme d’après la définition de l’énoncé, ce qui donne envie de définir A sur H tout entier
par la formule :
Ax =
∞
n=1
x n v n si x =
∞
n=1
x n e n avec
∞
n=1
|x n |
2
< ∞.
(VIII.41)
Ax est correctement défini car les sommes partielles de la série
x n v n forment une suite
de Cauchy :
q
n=p+1
x n v n
2
=
q
n=p+1
|x n |
2
v n
2
≤
q
n=p+1
|x n |
2
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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