Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
(ii) L’intégrale double
I =
R 2
e
−|x−y|
| f (y)g(x)|dxdy
de l’énoncé est celle d’une fonction mesurable positive ; elle a donc toujours un sens,
même si elle peut valoir +∞. Pour étudier cette intégrale, on fait le changement de variable (de jacobien 1) x = u, x − y = v, soit x = u, y = u − v. I se récrit comme suit :
I =
R
e
−|v|
R
| f (u − v)g(u)|du
dv
de f
=
R
e
−|v| F(v)dv.
(VIII.36)
L’inégalité de Schwarz nous donne maintenant
|F(v)| ≤
R
| f (u − v)|
2 du
1
2
R
|g(u)|
2 du
1
2
= f 2 g 2 .
L’inégalité (VIII.36) implique alors
I ≤ ≤ f 2 g 2
R
e
−|v| dv = 2 f 2 g 2 .
(VIII.37)
Cela assure l’intégrabilité de e
−|x−y|
| f (y)g(x) ainsi que, par l’inégalité triangulaire, l’inégalité (VIII.7) de l’énoncé, à savoir :
∀ f, g ∈ H,
R 2
e
−|x−y| f (y)g(x)dxdy
≤ 2 f 2 g 2 .
(iii) On note que l’intégrale (VIII.7) ne représente le produit scalaire A f, g
que si l’on sait déjà que A f ∈ H. Cette écriture n’est pas valable pour l’instant avec
f et g ∈ H arbitraires. Choisissons alors g à support contenu dans un segment J. A f est
mesurable bornée, donc de carré sommable sur le segment J, et l’intégrale (VIII.7) est
cette fois le produit scalaire (A f ) J , g. Elle donne ainsi l’inégalité
||(A f ) J , g ≤ 2 f 2 g 2 .
(VIII.38)
Si on choisit g = (A f ) J , (VIII.38) donne après simplification par g 2 :
∀J, ∀ f ∈ H, (A f ) J 2 ≤ 2 f 2 .
(VIII.39)
(VIII.39) entraîne donc, en faisant « tendre » J vers (−∞, +∞) et en utilisant le théorème
de Beppo Levi, l’inégalité :
A f 2 ≤ 2 f 2 ,
ce qui montre à la fois que A f ∈ H et que A ≤ 2.
(2) Soit ( f n ) la suite de l’énoncé. On a par définition
A ≥
A f n , f n
f n 2 .
(VIII.40)
212
(ii) L’intégrale double
I =
R 2
e
−|x−y|
| f (y)g(x)|dxdy
de l’énoncé est celle d’une fonction mesurable positive ; elle a donc toujours un sens,
même si elle peut valoir +∞. Pour étudier cette intégrale, on fait le changement de variable (de jacobien 1) x = u, x − y = v, soit x = u, y = u − v. I se récrit comme suit :
I =
R
e
−|v|
R
| f (u − v)g(u)|du
dv
de f
=
R
e
−|v| F(v)dv.
(VIII.36)
L’inégalité de Schwarz nous donne maintenant
|F(v)| ≤
R
| f (u − v)|
2 du
1
2
R
|g(u)|
2 du
1
2
= f 2 g 2 .
L’inégalité (VIII.36) implique alors
I ≤ ≤ f 2 g 2
R
e
−|v| dv = 2 f 2 g 2 .
(VIII.37)
Cela assure l’intégrabilité de e
−|x−y|
| f (y)g(x) ainsi que, par l’inégalité triangulaire, l’inégalité (VIII.7) de l’énoncé, à savoir :
∀ f, g ∈ H,
R 2
e
−|x−y| f (y)g(x)dxdy
≤ 2 f 2 g 2 .
(iii) On note que l’intégrale (VIII.7) ne représente le produit scalaire A f, g
que si l’on sait déjà que A f ∈ H. Cette écriture n’est pas valable pour l’instant avec
f et g ∈ H arbitraires. Choisissons alors g à support contenu dans un segment J. A f est
mesurable bornée, donc de carré sommable sur le segment J, et l’intégrale (VIII.7) est
cette fois le produit scalaire (A f ) J , g. Elle donne ainsi l’inégalité
||(A f ) J , g ≤ 2 f 2 g 2 .
(VIII.38)
Si on choisit g = (A f ) J , (VIII.38) donne après simplification par g 2 :
∀J, ∀ f ∈ H, (A f ) J 2 ≤ 2 f 2 .
(VIII.39)
(VIII.39) entraîne donc, en faisant « tendre » J vers (−∞, +∞) et en utilisant le théorème
de Beppo Levi, l’inégalité :
A f 2 ≤ 2 f 2 ,
ce qui montre à la fois que A f ∈ H et que A ≤ 2.
(2) Soit ( f n ) la suite de l’énoncé. On a par définition
A ≥
A f n , f n
f n 2 .
(VIII.40)
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