2. Solutions
Les λ de cette forme ne sont pas valeurs propres.
Si maintenant
λ−1
λ
= −μ
2 avec μ > 0, (VIII.33) et (VIII.34) donnent :
f (x) = A cos(μx) + B sin(μx), A = B sin μ = 0.
f (x) = B sin(μx), B 0, convient si sin(μ) = 0 donc μ = nπ, n ∈ N
∗ .
Nous obtenons les couples (valeur propre, espace propre)
λ n =
1
1 + n 2 π 2 , Vect (e n )
avec e n (x) =
√
2 sin(nπx), n ∈ N
∗
(e n ; n ∈ N
∗ ) est une base orthonormale de H.
(2) T est compact auto-adjoint positif (toutes ses valeurs propres sont positives). Sa
norme est égale à son rayon spectral (P 6.6) donc à la plus grande des valeurs propres,
soit
T =
1
1 + π 2 .
(3) S =
n≥0
1
1+n 2 π 2 = 1 +
n≥1
1
1+n 2 π 2 ; la seconde somme est la somme des valeurs
propres de T ; on peut appliquer la formule de trace (P 8.7) soit
S = 1 +
1
0
K(x, x)dx = 1 +
1
sh1
1
0
sh(x) sh(1 − x)dx
= 1 +
1
2sh1
1
0
(ch1 − ch(2x − 1))dx = 1 +
1
2sh1
(ch1 − sh1)
=
ch1 + sh1
2sh1
=
e
2
e 2 − 1
.
Remarque : On notera dans les exercices précédents l’importance de la prise en compte
des conditions aux limites quand on cherche une fonction propre relative à une valeur
propre non nulle. On remarque aussi l’outil « opérateur compact » utilisé pour des calculs
de sommes de séries reliées à des valeurs propres.
Exercice VIII.8
(1) (i) La fonction h x , h x (y) = e
−|x−y| est positive et de carré sommable :
+∞
−∞
(h x (y))
2 dy =
+∞
−∞
(h 0 (y))
2 dy = 2
+∞
0
e
−2y dy = 1.
L’inégalité de Schwarz (P 5.4) montre alors que l’intégrale
+∞
−∞
e
−|x−y| f (y)dy
est absolument convergente, donc convergente, si bien que A f (x) a un sens pour tout x.
De plus, |(A f )(x)| ≤ ≤ f 2 , et A f est une fonction bornée.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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