Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
(2) Les μ n de cette question sont les μ n considérées ci-dessus.
La somme demandée S est donc le quart de la somme S 0 des carrés des valeurs propres
de T . On sait que cette somme S 0 est fournie par le carré de la norme de la fonction
noyau K de l’opérateur T selon (P 8.5), puisque T ≥ 0. Cela nous donne :
S 0 =
∞
n=1
|λ n |
2
= K
2
2 =
Δ
e
−2|x−y| dxdy = 2
0≤y≤x≤1
e
−2(x−y) dxdy
= 2
1
0
e
−2x
x
0
e
2y dy
dx =
1
0
(1 − e
−2x )dx =
1 + e
−2
2
.
La somme demandée est donc
S =
S 0
4
=
∞
n=1
1
1 + μ 2
n
2
=
1
8
(e
−2
+ 1).
Exercice VIII.7
(1) La méthode est la même que dans l’exercice précédent. K est une fonction réelle
continue symétrique en (x, t). T est donc un opérateur compact de Hilbert-Schmidt autoadjoint.
L’équation aux (valeurs propres, vecteurs propres) peut se résoudre en dérivant la fonction g = T f = λ f qui est continue, puis dérivable, quand λ 0 :
g(x) =
sh(1-x)
sh1
x
0
sh(t) f (t)dt +
sh(x)
sh1
1
x
sh(1-t) f (t)dt.
(VIII.32)
g
(x) = −
ch(1-x)
sh1
x
0
sh(t) f (t)dt +
ch(x)
sh1
1
x
sh(1-t) f (t)dt
et, via sh(x)ch(1-x) + sh(1-x)ch(x) = sh1 :
g
(x) = g(x) − f (x).
(VIII.33)
Si T f = λ f , l’équation précédente s’écrit :
λ f
(x) = (λ − 1) f (x).
(VIII.34)
Il convient d’ajouter les conditions aux limites issues de (VIII.32) :
f (0) = f (1) = 0.
(VIII.35)
Si λ = 0, par (VIII.34), f = 0 ; 0 n’est donc pas valeur propre.
Si
λ−1
λ = μ
2
, μ > 0, par (VIII.33) et (VIII.34)
f (x) = Ach(μx) + Bsh(μx), A = 0, puis A = B = 0.
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