2. Solutions
(ii) Si λ > 2.
Notons 1 −
2
λ
= r
2
, r > 0.
f
(x) − r
2 f (x) = 0 ; f (x) = ae
rx
+ be
−rx
,
0 = f (0) − f
(0) = a(1 − r) + b(1 + r),
0 = f (1) + f
(1) = a(1 + r)e
r
+ b(1 − r)e
−r .
D’où a = b = 0, puis f = 0. Il n’y a pas de valeur propre > 2.
(iii) Si λ < 2.
Notons 1 −
2
λ = −r
2
, r > 0.
f
(x) + r
2 f (x) = 0 ; f (x) = a cos(rx) + b sin(rx),
0 = f (0) − f
(0) = a − rb,
0 = f (1) + f
(1) = a(cos r − r sin r) + b(sin r + r cos r).
Le déterminant de ce système linéaire homogène doit donc être nul si on veut f 0, soit
encore sin r + r cos r + r(cos r − r sin r) = 0, ce qui s’écrit après division par sin r 0 :
cot r =
1
2
r −
1
r
.
(VIII.31)
L’étude des graphes des fonctions des deux membres montre que (VIII.31) admet une
infinité dénombrable de solutions
y
x
0
π
2π
1/2(x-1/x) et 1/tan x
Les valeurs de r, notées μ n , n ∈ N
∗
, sont représentées par les abscisses des points d’intersection de ces courbes. μ n est la solution comprise entre (n − 1)π et (n +
1
2 )π. Les couples
(valeur propre, espace propre) sont
λ n =
2
1 + μ 2
n
, Vect ( f n ; f n (x) = μ n cos(μ n x) + sin(μ n x)).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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