Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
Exercice VIII.6
(1) La fonction [0, 1]
2
→ R, (x, y) → e
−|x−y| est continue, donc de carré sommable
sur [0, 1]
2 , et réelle, symétrique. Elle est donc le noyau d’un opérateur T de HilbertSchmidt (donc compact) auto-adjoint, et positif, injectif comme on l’a vu dans l’exercice
précédent. σ(T ) \ {0} est constitué de valeurs propres d’ordre fini. Les espaces propres
sont orthogonaux deux à deux (P 6.6).
Comme dans l’Ex. VIII.3, on est amené à dériver l’équation T f = λ f pour trouver les
couples (λ ∈ R
∗
, f ∈ H, f 0) qui en sont les solutions. L’équation (VIII.3) s’écrit
(T f )(x) = e
−x
x
0
e
y f (y)dy + e
x
1
x
e
−y f (y)dy.
(VIII.27)
La fonction du second membre est continue, puis dérivable lorsque T f = λ f avec λ 0,
et on obtient en dérivant cette équation
λ f
(x) = − e
−x
x
0
e
y f (y)dy + f (x) − f (x) + e
x
1
x
e
−y f (y)dy
= − e
−x
x
0
e
y f (y)dy + e
x
1
x
e
−y f (y)dy,
λ f
(x) = e
−x
x
0
e
y f (y)dy + e
x
1
x
e
−x f (y)dy − 2 f (x).
(VIII.28)
Cela s’écrit encore :
λ f
(x) = λ f (x) − 2 f (x) et f
(x) =
1 −
2
λ
f (x).
(VIII.29)
Revenant à T f = λ f, λ 0 (rappelons que T est injectif), on obtient :
λ f (0) =
1
0
e
−y f (y)dy = λ f
(0)
et λ f (1) = e
−1
1
0
e
y f (y)dy = −λ f
(1),
donc
f (0) − f
(0) = 0 ; f (1) + f
(1) = 0
( VIII.30)
Les (valeurs propres, vecteurs propres) de T sont les solutions, non nulles en f , du système (VIII.29), (VIII.30) avec conditions aux limites.
(i) Si λ = 2.
f
(x) = 0, f (x) = ax + b, b − a = 0, 2a + b = 0 et donc a = b = 0 ; λ = 2 n’est pas une
valeur propre de T .
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