2. Solutions
le début du développement en série de sin(xy). Ce nouveau noyau est de la forme
p
j=1 f j (x)g j (y) avec f j , g j continues sur [−π, π] et p = 2N + 1, donc l’opérateur associé
A N est continu de rang fini, comme on l’a vu dans l’exercice 1.
La propriété (P 8.1) dit que A − A N ≤ ≤K − K N 2 ≤ ≤K − K N ∞ , et cette dernière norme
tend vers zéro, car la série du sinus converge uniformément sur tout compact. Ainsi, A
est limite en norme-opérateur d’opérateurs de rang fini, et par suite il est compact. À vrai
dire, il est même Hilbert-Schmidt car K ∈ L
2 ([0, 1] × [0, 1]), et mieux encore nucléaire
car A − A N ≤
C
N
(2N+1)! , où C est une constante.
Exercice VIII.4
(1) À une fonction f sur [0, π] à valeurs complexes, on associe f impaire coïncidant
avec f sur [0, π] (il s’agit toujours d’égalités presque partout). Si f ∈ L
2 ([0, π]) alors
f ∈ L
2 ([−π, π]), car :
+π
−π
| f (t)|
2 dt = 2
π
0
| f (t)|
2 dt.
On sait qu’un élément de F est somme de sa série de Fourier. S’il est impair, il est somme
d’une série de Fourier ne comprenant que des termes en sin(nx), donc f s’approche dans
L
2 ([−π, π]) par des combinaisons linéaires finies de fonctions sin nx, et par imparité il
en est de même de f dans L
2 ([0, π]), ce qui montre bien que { f n ; n ≥ 1} est une base
orthonormale de H.
(2) C’est un problème qu’on a déjà vu dans l’Ex. VIII. 2 sous une forme très voisine.
Les conditions
f
(x) = λ f (x), f (0) = f (π) = 0 et f 0 imposent
λ = −ν
2
, ν > 0, f (x) = b sin(νx), b 0, ν ∈ N
∗
.
Les solutions forment un espace vectoriel de dimension 1.
Les systèmes (valeurs propres, espaces propres) sont donc
{(−n
2
, Vect( f n , f n (x) = sin(nx)) ; n ∈ N
∗
}.
(3) On a montré en (2) que 0 n’est pas valeur propre de B.
B est donc une application linéaire injective de G dans G, elle admet algébriquement une
inverse A 0 : Im (B) → G.
Les fonctions propres f n de B forment un système orthonormal complet dans E, donc A 0
est donc complètement décrite par les relations
A 0 f n = a n f n avec a n = −
1
n 2 , n ∈ N
∗
.
L’application A définie sur H entier par
A
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
x n f n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
∞
n=1
x n a n f n avec
∞
n=1
|x n |
2
< ∞
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
205
le début du développement en série de sin(xy). Ce nouveau noyau est de la forme
p
j=1 f j (x)g j (y) avec f j , g j continues sur [−π, π] et p = 2N + 1, donc l’opérateur associé
A N est continu de rang fini, comme on l’a vu dans l’exercice 1.
La propriété (P 8.1) dit que A − A N ≤ ≤K − K N 2 ≤ ≤K − K N ∞ , et cette dernière norme
tend vers zéro, car la série du sinus converge uniformément sur tout compact. Ainsi, A
est limite en norme-opérateur d’opérateurs de rang fini, et par suite il est compact. À vrai
dire, il est même Hilbert-Schmidt car K ∈ L
2 ([0, 1] × [0, 1]), et mieux encore nucléaire
car A − A N ≤
C
N
(2N+1)! , où C est une constante.
Exercice VIII.4
(1) À une fonction f sur [0, π] à valeurs complexes, on associe f impaire coïncidant
avec f sur [0, π] (il s’agit toujours d’égalités presque partout). Si f ∈ L
2 ([0, π]) alors
f ∈ L
2 ([−π, π]), car :
+π
−π
| f (t)|
2 dt = 2
π
0
| f (t)|
2 dt.
On sait qu’un élément de F est somme de sa série de Fourier. S’il est impair, il est somme
d’une série de Fourier ne comprenant que des termes en sin(nx), donc f s’approche dans
L
2 ([−π, π]) par des combinaisons linéaires finies de fonctions sin nx, et par imparité il
en est de même de f dans L
2 ([0, π]), ce qui montre bien que { f n ; n ≥ 1} est une base
orthonormale de H.
(2) C’est un problème qu’on a déjà vu dans l’Ex. VIII. 2 sous une forme très voisine.
Les conditions
f
(x) = λ f (x), f (0) = f (π) = 0 et f 0 imposent
λ = −ν
2
, ν > 0, f (x) = b sin(νx), b 0, ν ∈ N
∗
.
Les solutions forment un espace vectoriel de dimension 1.
Les systèmes (valeurs propres, espaces propres) sont donc
{(−n
2
, Vect( f n , f n (x) = sin(nx)) ; n ∈ N
∗
}.
(3) On a montré en (2) que 0 n’est pas valeur propre de B.
B est donc une application linéaire injective de G dans G, elle admet algébriquement une
inverse A 0 : Im (B) → G.
Les fonctions propres f n de B forment un système orthonormal complet dans E, donc A 0
est donc complètement décrite par les relations
A 0 f n = a n f n avec a n = −
1
n 2 , n ∈ N
∗
.
L’application A définie sur H entier par
A
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
x n f n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
∞
n=1
x n a n f n avec
∞
n=1
|x n |
2
< ∞
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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