Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
est un opérateur diagonal borné prolongeant A 0 , de norme A = sup n |a n | = 1, et compact puisque lim n a n = 0.
(4) Le fait que l’on passe de g à Ag en multipliant les coefficients de Fouriersinus par a n fait penser à une convolution. On a donc envie d’introduire la fonction
C(x) =
∞
n=1 a n cos nx et de considérer la convolution
(g g C)(x)
de f
=
1
π
π
−π
C(x − y)g(y)dy =
π
0
K(x, y)g(y)dy
avec K(x, y) =
1
π
(C(x − y) − C(x + y)) = −
2
π
∞
n=1
sin nx sin ny
n 2
,
où on a utilisé l’imparité de g, prolongée à [−π, π]. On prétend que g g C = Ag. En
effet, si les coefficients de Fourier-sinus de g sont les c n =
1
π
π
−π
g(y) sin(ny)dy, on a par
convergence dominée
1
π
π
−π
C(x − y)g(y)dy =
∞
n=1
a n
1
π
π
−π
(cos nx cos ny + sin nx sin ny)g(y)dy
=
∞
n=1
a n
1
π
π
−π
(sin nx sin ny)g(y)dy =
∞
n=1
a n c n sin nx = Ag(x).
Cela montre que, pour 0 ≤ x ≤ π, on a :
Ag(x) =
π
0
K(x, y)g(y)dy,
et le calcul de K(x, y) a déjà été fait dans l’Ex. VIII.2. En effet, posant
x = πX, y = πY avec 0 ≤ X, Y ≤ 1,
on a d’après (VIII.24) de cet exercice :
∞
n=1
sin nx sin ny
n 2
=
π
2
2
[min(X, Y) − XY],
soit
K(x, y) = −π
min
x
π
,
y
π
−
xy
π 2
= −
min(x, y) −
xy
π
pour 0 ≤ x, y ≤ π.
Exercice VIII.5
On note I = [0, 1], Δ = I
2 .
(1) Il est clair, par une application simple du théorème de Fubini, que l’on a
T f, f =
Δ
K(x, y) f (x) f (y)dxdy.
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