Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
Comme e n
2
2 =
1
0
(sin(nπt))
2 dt =
1
2 , on choisit g n = e n
√
2.
L’expression demandée est obtenue en remplaçant dans (VIII.23) les quantités λ n , g n par
leurs valeurs. On a bien
2
π 2
∞
n=1
sin(nπx) sin(nπt)
n 2
=
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(1 − t) si 0 ≤ x ≤ t ≤ 1
t(1 − x) si 0 ≤ t ≤ x ≤ 1
(VIII.24)
(5) Si on sait (ce qui est le cas comme on l’a vu) que T ≥ 0 au sens des opérateurs,
on peut employer le théorème de Mercer (P 8.6), qui affirme que la convergence de la
série de (VIII.24) est uniforme. Cela se voit aussi directement ici car le terme de rang n
est majoré par n
−2 .
(i) L’écriture de K dans (VIII.23) est celle de sa décomposition sur un système
orthonormé. On a alors (via la symétrie K(x, t) = K(t, x))
K
2
2 =
∞
n=1
|λ n |
2
(VIII.25)
soit
∞
n=1
1
n 4 = π
4
1
0
1
0
|K(x, t)|
2 dxdt
= 2π
4
1
0
x
0
t
2 (1 − x)
2 dt
dx = 2
π
4
3
1
0
x
3 (1 − x)
2 dx =
π
4
90
.
(ii) Le théorème de Mercer exprime aussi (P 8.7) que la « trace » de T est
tr (T ) =
∞
n=1
λ n =
1
0
K(x, x)dx.
(VIII.26)
L’application de (VIII.26) fournit
∞
n=1
1
n 2 = π
2
1
0
x(1 − x)dx =
π
2
6
.
Exercice VIII.3
(1) A vérifie la définition (D 8.2) ; c’est un opérateur intégral de Hilbert-Schmidt
(P 8.5) dont le noyau K, i.e. K(x, y) = sin(xy), est une fonction continue réelle et symétrique en (x, y). La propriété (P 8.4 (ii)) montre qu’il est compact et auto-adjoint.
(2) On cherche naturellement à approcher A par un opérateur intégral de rang fini.
Soit
K N (x, y) =
N
j=0
(−1)
j x
2 j+1
y
2 j+1
(2 j + 1)!
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