2. Solutions
On dérive une seconde fois pour ne plus avoir d’intégrale, et on ajoute comme précédemment une condition de valeur en un point obtenu à partir de (VIII.18)
λ f
(x) = −x f (x) − (1 − x) f (x) = − f (x) et f (0) = f (1) = 0.
(VIII.19)
On cherche maintenant les solutions non-nulles de (VIII.19), qui vont forcer un certain
choix des λ, les valeurs propres non-nulles de T , qui sont réelles car T est auto-adjoint.
Cette résolution est classique :
Si λ = −a
−2
, a ∈ R
+∗
, f (x) = αe
ax
+ βe
−ax . Les conditions aux limites donnent
f (0) = α + β = 0, f (1) = αe
a
+ βe
−a
= 0, soit α = β = 0, donc f = 0. Aucune
valeur propre n’a la forme proposée ici.
Si λ = a
−2
, a ∈ R
+∗
, f (x) = α cos(ax) + β sin(ax). Les conditions aux limites donnent
f (0) = α = 0 ; on peut choisir β 0 à condition d’imposer sin a = 0 donc a = nπ et
λ = (nπ)
−2
, n ∈ N
∗ .
Les couples (valeur propre, vecteur propre) relatifs à une valeur propre non nulle (chaque
espace propre est de dimension 1) sont donc
((nπ)
−2
, e n , e n (x) = sin(nπx)), n ∈ N
∗
.
(VIII.20)
(ii) 0 est-il valeur propre ?
Non, car (VIII.19) donne alors f (x) = 0 pour tout x ∈ [0, 1].
(iii) Spectre de T.
La propriété (P 7.15) exprime que 0 ∈ σ(T ) et σ(T ) = {0} ∪ σ p (T ) ; on obtient donc
σ(T ) = {(nπ)
−2 ; n ∈ N
∗
} ∪ {0}.
(VIII.21)
Cette positivité des valeurs propres de T auto-adjoint compact redonne la positivité de
cet opérateur.
(3) Comme T est auto-adjoint compact, sa norme est égale à son rayon spectral
(P 6.6), et la partie non nulle du spectre est constituée de valeurs propres. Le rayon
spectral est le sup des modules des valeurs propres, d’où
T = π
−2
.
(VIII.22)
(4) Par (P 8.5) on sait écrire le noyau
K(x, t) =
∞
n=1
λ n g n (x)g n (t).
(VIII.23)
Les g n forment une base orthonormale du Hilbert engendré par les vecteurs propres
relatifs aux valeurs propres non nulles, λ n étant la valeur propre relative à g n . La série
converge au sens de la norme dans H.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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