Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
Exercice VIII.2
(1) La première question est valable pour toute fonction K continue, donc uniformément continue, sur le compact [0, 1] × [0, 1]. Soit donc ε > 0. Il existe δ > 0 tel
que
∀x, y ∈ [0, 1], |x − y| ≤ δ implique |K(x, t) − K(y, t)| ≤ ε.
Par majoration sous le signe
et par l’inégalité de Schwarz, on a alors
|(T f )(x) − (T f )(y)| ≤ sup
t∈[0,1]
(|K(x, t) − K(y, t)|) f 2 ≤ ε f 2 .
Ceci exprime la continuité uniforme de T f , et même l’équicontinuité (D 2.2) de l’ensemble de fonctions {T f ; f 2 ≤ 1}.
(2) Par (P 8.2) ou l’exercice précédent, on voit que T est un opérateur compact
auto-adjoint, dont le spectre et l’écriture spectrale vérifient (P 7.15) et (P 7.16). Ajoutons une précision : il existe un processus gaussien (X t ) centré (indexé par [0, 1]) dont
K(s, t) est la covariance, c’est-à-dire que, E désignant l’espérance mathématique, on a
K(s, t) = E(X s X t ). D’où, si f ∈ H, la relation
T f, f =
0≤s,t≤1
K(s, t) f (s) f (t)dsdt =
0≤s,t≤1
E(X s X t ) f (s) f (t)dsdt
= E
0≤s,t≤1
X s X t f (s) f (t)dsdt
= E
1
0
X s f (s)ds
2
≥ 0.
Ceci montre que T est auto-adjoint positif, ce que nous allons retrouver par la suite. En
effet, (T f )(x) peut s’écrire
(T f )(x) = (1 − x)
x
0
t f (t)dt + x
1
x
(1 − t) f (t)dt
(VIII.16)
Le second membre est une fonction continue de x. Cette remarque nous permet de remplacer l’équation donnant valeurs propres et fonctions propres par des égalités faciles à
résoudre.
(i) Valeurs propres non nulles.
L’équation T f = λ f, λ 0 s’écrit
λ f (x) = (1 − x)
x
0
t f (t)dt + x
1
x
(1 − t) f (t)dt.
(VIII.17)
f est alors continue, puis dérivable. (VIII.17) est équivalente à
λ f
(x) = −
x
0
t f (t)dt +
1
x
(1 − t) f (t)dt et f (0) = 0.
(VIII.18)
202
Exercice VIII.2
(1) La première question est valable pour toute fonction K continue, donc uniformément continue, sur le compact [0, 1] × [0, 1]. Soit donc ε > 0. Il existe δ > 0 tel
que
∀x, y ∈ [0, 1], |x − y| ≤ δ implique |K(x, t) − K(y, t)| ≤ ε.
Par majoration sous le signe
et par l’inégalité de Schwarz, on a alors
|(T f )(x) − (T f )(y)| ≤ sup
t∈[0,1]
(|K(x, t) − K(y, t)|) f 2 ≤ ε f 2 .
Ceci exprime la continuité uniforme de T f , et même l’équicontinuité (D 2.2) de l’ensemble de fonctions {T f ; f 2 ≤ 1}.
(2) Par (P 8.2) ou l’exercice précédent, on voit que T est un opérateur compact
auto-adjoint, dont le spectre et l’écriture spectrale vérifient (P 7.15) et (P 7.16). Ajoutons une précision : il existe un processus gaussien (X t ) centré (indexé par [0, 1]) dont
K(s, t) est la covariance, c’est-à-dire que, E désignant l’espérance mathématique, on a
K(s, t) = E(X s X t ). D’où, si f ∈ H, la relation
T f, f =
0≤s,t≤1
K(s, t) f (s) f (t)dsdt =
0≤s,t≤1
E(X s X t ) f (s) f (t)dsdt
= E
0≤s,t≤1
X s X t f (s) f (t)dsdt
= E
1
0
X s f (s)ds
2
≥ 0.
Ceci montre que T est auto-adjoint positif, ce que nous allons retrouver par la suite. En
effet, (T f )(x) peut s’écrire
(T f )(x) = (1 − x)
x
0
t f (t)dt + x
1
x
(1 − t) f (t)dt
(VIII.16)
Le second membre est une fonction continue de x. Cette remarque nous permet de remplacer l’équation donnant valeurs propres et fonctions propres par des égalités faciles à
résoudre.
(i) Valeurs propres non nulles.
L’équation T f = λ f, λ 0 s’écrit
λ f (x) = (1 − x)
x
0
t f (t)dt + x
1
x
(1 − t) f (t)dt.
(VIII.17)
f est alors continue, puis dérivable. (VIII.17) est équivalente à
λ f
(x) = −
x
0
t f (t)dt +
1
x
(1 − t) f (t)dt et f (0) = 0.
(VIII.18)
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