2. Solutions
(3) H est un espace de Hilbert, il revient donc au même d’établir que T s’approche
en norme-opérateur par des opérateurs continus de rang fini (P 7.12).
Soit (e j ) j≥1 une base orthonormale du Hilbert séparable H, qu’on pourrait expliciter
avec les fonctions de l’énoncé. Alors, l’espace L
2 ([0, 1] × [0, 1], dxdt) admet pour base
orthonormale les (g p,q , p, q ≥ 1) définis par g p,q (x, t) = e p (x)e q (t). Dans cette base
K =
p,q≥1 k p,q g p,q , la série étant inconditionnellement convergente et les k p,q étant des
scalaires.
∀ε > 0, ∃N ∈ N
∗ tel que, en posant K N =
1≤p≤N,1≤q≤N k p,q g p,q , on ait K − K N 2 ≤ ε.
L’opérateur intégral T N obtenu en remplaçant K par K N est borné de rang fini, d’après
(VIII.7) ; on a Im (T N ) ⊂ Vect (e n ; 1 ≤ n ≤ N).
L’inégalité (VIII.12) pour T − T N montre que T − T N ≤ ≤K − K N 2 ≤ ε. T est donc
compact.
(4) On détaille, dans un cas plus général, un résultat signalé sans preuve dans
l’Ex. VII.2. Si T = T K est l’opérateur associé au noyau K, alors T
∗
K est associé au
noyau K
∗
= L défini par L(x, t) = K(t, x). Soit en effet f, g ∈ H. L’intégrale double
I =
[0,1] 2 |K(x, t)|| f (t)||g(x)|dxdt est convergente par l’inégalité de Schwarz (P 5.4) :
I
2
≤
[0,1] 2
|K(x, t)|
2 dxdt
[0,1] 2
| f (t)|
2
|g(x)|
2 dxdt = K
2
2 f
2
2 g
2
2 .
On peut donc appliquer le théorème de Fubini à l’intégrale double
[0,1] 2
K(x, t) f (t)g(x)dxdt
pour obtenir (attention au nom des variables) :
f, T L g =
1
0
f (t)T L g(t)dt =
1
0
f (t)
1
0
K(x, t)g(x)dx
dt
=
1
0
g(x)
1
0
K(x, t) f (t)dt
dx = T K f, g = f, T
∗
K g.
(VIII.15)
Par identification, on a bien T
∗
K = T L comme annoncé, soit encore
(T
∗ f )(x) =
1
0
K(t, x) f (t)dt,
ce qui montre que T
∗ est un opérateur intégral de même nature que T , où K est remplacé
par K
∗
, K
∗ (x, t) = K(t, x) (cf. P 8.2).
Remarque : On pourra comparer les résultats de (2) à ceux des exercices (Ex. VII.1) et
(Ex. VII.2).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
201
(3) H est un espace de Hilbert, il revient donc au même d’établir que T s’approche
en norme-opérateur par des opérateurs continus de rang fini (P 7.12).
Soit (e j ) j≥1 une base orthonormale du Hilbert séparable H, qu’on pourrait expliciter
avec les fonctions de l’énoncé. Alors, l’espace L
2 ([0, 1] × [0, 1], dxdt) admet pour base
orthonormale les (g p,q , p, q ≥ 1) définis par g p,q (x, t) = e p (x)e q (t). Dans cette base
K =
p,q≥1 k p,q g p,q , la série étant inconditionnellement convergente et les k p,q étant des
scalaires.
∀ε > 0, ∃N ∈ N
∗ tel que, en posant K N =
1≤p≤N,1≤q≤N k p,q g p,q , on ait K − K N 2 ≤ ε.
L’opérateur intégral T N obtenu en remplaçant K par K N est borné de rang fini, d’après
(VIII.7) ; on a Im (T N ) ⊂ Vect (e n ; 1 ≤ n ≤ N).
L’inégalité (VIII.12) pour T − T N montre que T − T N ≤ ≤K − K N 2 ≤ ε. T est donc
compact.
(4) On détaille, dans un cas plus général, un résultat signalé sans preuve dans
l’Ex. VII.2. Si T = T K est l’opérateur associé au noyau K, alors T
∗
K est associé au
noyau K
∗
= L défini par L(x, t) = K(t, x). Soit en effet f, g ∈ H. L’intégrale double
I =
[0,1] 2 |K(x, t)|| f (t)||g(x)|dxdt est convergente par l’inégalité de Schwarz (P 5.4) :
I
2
≤
[0,1] 2
|K(x, t)|
2 dxdt
[0,1] 2
| f (t)|
2
|g(x)|
2 dxdt = K
2
2 f
2
2 g
2
2 .
On peut donc appliquer le théorème de Fubini à l’intégrale double
[0,1] 2
K(x, t) f (t)g(x)dxdt
pour obtenir (attention au nom des variables) :
f, T L g =
1
0
f (t)T L g(t)dt =
1
0
f (t)
1
0
K(x, t)g(x)dx
dt
=
1
0
g(x)
1
0
K(x, t) f (t)dt
dx = T K f, g = f, T
∗
K g.
(VIII.15)
Par identification, on a bien T
∗
K = T L comme annoncé, soit encore
(T
∗ f )(x) =
1
0
K(t, x) f (t)dt,
ce qui montre que T
∗ est un opérateur intégral de même nature que T , où K est remplacé
par K
∗
, K
∗ (x, t) = K(t, x) (cf. P 8.2).
Remarque : On pourra comparer les résultats de (2) à ceux des exercices (Ex. VII.1) et
(Ex. VII.2).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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