Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
2 SOLUTIONS
Exercice VIII.1
(1) (i) T f ∈ H.
Posons I = [0, 1] et F(x) =
1
0
|K(x, t)|| f (t)|dt ≤ +∞. Ce nombre est toujours défini, éventuellement égal à +∞, car la fonction qu’on intègre est positive. L’inégalité
de Schwarz appliquée à F(x) donne :
F
2 (x) ≤ ≤ f
2
2
1
0
|K(x, t)|
2 dt
(VIII.9)
soit en réintégrant par rapport à x et en appliquant le théorème de Fubini-Tonelli pour
les intégrales doubles de fonctions positives :
1
0
F
2 (x)dx ≤ ≤ f
2
2
1
0
1
0
|K(x, t)|
2 dtdx = f
2
2 K
2
2 < ∞.
Ceci implique F(x) < ∞ pour x ∈ E, où E ⊂ [0, 1] est mesurable et m(E) = 1, m désignant la mesure de Lebesgue sur I. Et pour x ∈ E, l’intégrale T f (x) =
1
0
K(x, t) f (t)dt
est bien définie car elle est absolument convergente. En posant T f (x) = 0 si x E, on
obtient une fonction T f mesurable. De plus, on a |T f (x)| ≤ F(x) ∀x ∈ I, ce qui implique
T f ∈ H et
T f
2
2 ≤ ≤ f
2
2 K
2
2 .
(VIII.10)
Rappelons le sens de la notation K
2
2 :
K
2
2 =
[0,1] 2
|K(x, t)|
2 dtdx.
(VIII.11)
(ii) T ∈ L(H).
C’est écrit dans l’inégalité (VIII.10). On reconnaît en effet la continuité de T à l’existence d’une constante h telle que T f 2 ≤ h f 2 pour toute f ∈ H (P 2.5), et h est un
majorant de T . On a donc ici
T ≤ ≤K 2 .
(VIII.12)
(2) Dans l’écriture de (VIII.1), on remplace K par l’expression donnée en (VIII.2),
ce qui donne :
(T f )(x) =
1
0
N
j=1
a j (x)b j (t) f (t)dt =
N
j=1
a j (x)
1
0
b j (t) f (t)dt.
(VIII.13)
L’intégrale est à valeur dans C. On obtient donc
T f ∈ Vect (a j , j = 1, . . . , N).
(VIII.14)
Par (VIII.1), T est un opérateur borné ; par (VIII.14), il est de rang ≤ N.
200