1. Énoncés
(2) Montrer que A est un opérateur intégral de Hilbert-Schmidt et expliciter son noyau
K sous forme de série (cf. P 8.9).
(3) Résoudre dans H l’équation en h, Ah − 2h = g où g(x) = cos x.
Exercice VIII.10 : Équation de Daugavet
Soit J = [0, 1], E l’espace des fonctions complexes continues sur J avec la norme-sup, I
l’identité de E, x 0 ∈ J et g ∈ E. On pose g 1 =
J
|g(t)|dt.
(1) On a vu dans l’Ex. III.3 (auquel on renvoie) que :
∀ε > 0, ∃ f ∈ E telle que f ∞ ≤ 1 et
J
f g
≥ ≥g 1 − ε.
Comment modifier le choix de f pour obtenir le renforcement
∀ε > 0, ∃ϕ ∈ E telle que ϕ ∞ ≤ 1,
J
ϕg
≥ ≥g 1 − ε et ϕ(x 0 ) = 1?
(2) Soit T ∈ L(E) un opérateur intégral (donc compact) associé à un noyau continu
K ∈ C(J
2 ). On a calculé la norme de T dans l’Ex. VII.8. En s’inspirant de cela et de la
question (1), montrer l’équation de Daugavet
I + T = 1 + T .
(DE)
(3) En réfléchissant à la modification de (2), montrer que l’équation de Daugavet (DE)
reste vraie pour tout opérateur compact T : E → E.
(4) Soit maintenant E=
1 . Montrer qu’il existe des opérateurs T ∈ L(E) de rang un,
donc compacts, tels que
I + T < 1 + T .
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