Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
Exercice VIII.8
Soit H l’espace de Hilbert L
2 (R, dx), dont on note 2 la norme, et A l’application donnée
sur H par
∀ f ∈ H, (A f )(x) =
+∞
−∞
e
−|x−y| f (y)dy.
(VIII.6)
(1) (i) Montrer que
∀ f, g ∈ H,
R 2
e
−|x−y|
| f (y)g(x)|dxdy ≤ 2 f 2 h 2 ,
puis que
∀ f, g ∈ H,
R 2
e
−|x−y| f (y)g(x)|dxdy
≤ 2 f 2 h 2 .
(VIII.7)
(ii) Si J est un segment de R, on note (A f ) J la restriction de A f à J. En prenant
g = (A f ) J dans (VIII.7), montrer que A f ∈ H.
(iii) Montrer que A ∈ L(H) (D 2.5).
(2) En utilisant par exemple la suite des fonctions f n définies par
f n (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1 si x ∈ [0, n]
0 sinon
montrer que A = 2.
(3) En utilisant par exemple la suite des fonctions g n définies par
g n (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1 si x ∈ [n, n + 1[
0 sinon
montrer que A n’est pas un opérateur compact.
Exercice VIII.9
On munit l’espace de Hilbert H = L
2 ([−π, +π],
dx
2π ) de la base orthonormale (e n , n ∈ N
∗ )
donnée par
e 1 (x) = 1, e 2n (x) =
√
2 cos(nx), e 2n+1 (x) =
√
2 sin(nx).
Un opérateur linéaire A est donné par
Ae 1 = e 1 et ∀n ∈ N
∗ : Ae 2n =
1
n
e 2n+1 et Ae 2n+1 =
1
n
e 2n .
(VIII.8)
(1) Montrer que (VIII.8) définit un élément auto-adjoint de L(H).
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