1. Énoncés
Soit K ∈ C([0, 1]×[0, 1]) « hermitien », i.e. K(x, y) = K(y, x) ∀x, y ∈ [0, 1], et vérifiant
de plus la condition de Bochner
1≤i, j≤n
K(x i , x j )z i z j ≥ 0 ∀x 1 , . . . , x n ∈ [0, 1], ∀z 1 , . . . , z n ∈ C.
Soit T : H → H l’opérateur de noyau K défini par
∀ f ∈ H, (T f )(x) =
1
0
K(x, y) f (y)dy.
On sait déjà d’après le cours que T est auto-adjoint (cf. (P 8.1) et (P 8.2)).
(1) Montrer plus précisément que T ∈ L(H) est un opérateur positif, c’est-à-dire :
T f, f ≥ 0 ∀ f ∈ H.
(On pourra écrire T f, f comme une intégrale double, qu’on approchera ensuite par des
sommes de Riemann).
(2) Montrer que K(x, y) = e
−|x−y| satisfait les conditions de la question (1).
Exercice VIII.6
Soit H = L
2 ([0, 1], dx) et T : H → H l’opérateur à noyau défini par
∀ f ∈ H, (T f )(x) =
1
0
e
−|x−y| f (y)dy.
(VIII.3)
(1) On sait d’après l’Ex. VIII.5 que T ∈ L(H), et même que T est auto-adjoint positif.
Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de T .
(2) En déduire la valeur de
n≥1 (
1
1+μ 2
n
)
2 où les μ n sont les solutions positives de l’équation cot μ =
1
2 (μ −
1
μ ) (cot est la cotangente).
Exercice VIII.7
Soit H = L
2 ([0, 1], dx) et l’opérateur T défini sur H par
∀ f ∈ H, (T f )(x) =
1
0
K(x, t) f (t)dt
(VIII.4)
K(x, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
sh(x) sh (1-t)
sh1
si 0 ≤ x ≤ t ≤ 1
sh(t) sh (1-x)
sh1
si 0 ≤ t ≤ x ≤ 1
(VIII.5)
(1) Montrer que T ∈ K(H) et déterminer les valeurs propres et espaces propres de T .
(2) Quelle est la norme de T ?
(3) En déduire la valeur de
n≥0
1
1+π 2 n 2 .
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