Chapitre VIII • Opérateurs intégraux
(1) Montrer que l’image de T, Im (T ), est incluse dans l’ensemble des fonctions continues sur [0, 1].
(2) Déterminer le spectre de T et les fonctions propres de T .
(3) En déduire la norme de T .
(4) Établir, pour 0 ≤ x, t ≤ 1, la formule
2
π 2
∞
n=1
sin(nπx) sin(nπt)
n 2
= K(x, t) = min(x, t) − xt.
(5) Calculer
n≥1
1
n 2 et
n≥1
1
n 4 (cf. P 8.6 et P 8.7).
Exercice VIII.3
H est l’espace de Hilbert complexe L
2 ([−π, +π], dx). Un opérateur A est défini sur H par
∀ f ∈ H, A f = g avec g(x) =
π
−π
sin(xy) f (y)dy.
(1) Montrer que A est un opérateur compact auto-adjoint.
(2) Exprimer A comme limite d’une suite d’opérateurs de Hilbert-Schmidt autoadjoints de rang fini (P 8.3).
Exercice VIII.4
Soit H = L
2 ([0, π], dx) et G le sous-espace préhilbertien de H formé des fonctions indéfiniment dérivables sur [0, π] telles que f
(n) (0) = f
(n) (π) = 0 si n est pair.
(1) Montrer que { f n ; f n (x) =
2
π sin(nx), n ∈ N
∗
} est une base orthonormale de H. (Indication : Prolonger une fonction de H en une fonction impaire de
F = L
2 ([−π, +π], dx)).
(2) On considère l’application B : {G → G, f → g, g(x) = f
(x)}. Quels sont les
couples (valeur propre, espace propre) de B ?
(3) Montrer que B est une application linéaire inversible de G dans Im(B). Soit A 0
son inverse ; montrer que A 0 est prolongeable en un élément A de K(H), et donner une
expression de A comme opérateur intégral.
Exercice VIII.5
Soit H = L
2 ([0, 1], dx) muni de la norme hilbertienne notée 2 et du produit scalaire
associé.
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