OPÉRATEURS
INTÉGRAUX
VIII
1 ÉNONCÉS
Exercice VIII.1
Le but de l’exercice est entre autres de retrouver les deux propriétés (P 8.1) et (P 8.2) ;
on ne suppose donc pas connus les résultats du chapitre 8.
Soit H = L
2 ([0, 1], dx) et K ∈ L
2 ([0, 1] × [0, 1], dxdt). Soit T l’opérateur « défini » par
(T f )(x) =
1
0
K(x, t) f (t)dt.
(VIII.1)
(1) Montrer que T est un élément de L(H).
(2) On suppose que K est de la forme
K(x, t) =
N
j=1
a j (x)b j (t)
( VIII.2)
où a j , b j ∈ H et N ∈ N. Montrer que T est un opérateur borné de rang fini.
(3) On note, pour n, p, q ∈ Z, e n (t) = exp(2iπnt) et e p,q (x, t) = e p (x)e q (t). Utiliser par
exemple ces fonctions pour établir que T est un opérateur compact.
(4) Quel est l’adjoint T
∗ de T ?
Exercice VIII.2
Soit H = L
2 ([0, 1], dx) et T ∈ L(H) défini, pour f ∈ H et x ∈ [0, 1], par
(T f )(x) =
1
0
K(x, t) f (t)dt,
où le noyau K (covariance du pont brownien) est défini par :
K(x, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(1 − t) si 0 ≤ x ≤ t ≤ 1
t(1 − x) si 0 ≤ t ≤ x ≤ 1
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