Chapitre VII • Opérateurs compacts
1 =⇒ 2 :
Soit A = lim n→∞ S
∗n T S
n . Alors, S
∗ AS = lim n→∞ S
∗n+1 T S
n+1
= A, et l’opérateur A est
Toeplitz. Reste à montrer que T − A
de f
= K est compact. Soit pour cela Q n la projection
orthogonale sur l’espace vectoriel fermé engendré par les e j , j ≥ n. On observe que
Q n = S
n S
∗n
.
(VII.36)
En effet, on voit que
1. j ≥ n =⇒ S
n S
∗n (e j ) = S
n (e j−n ) = e j−n+n = e j ;
2. j < n =⇒ S
n S
∗n (e j ) = S
n (0) = 0.
Il s’ensuit que
lim
n→∞
Q n KQ n = 0.
(VII.37)
En effet, on peut écrire via (VII.36) :
Q n KQ n = S
n S
∗n KS
n S
∗n
= S
∗n KS
n S
∗n
≤ ≤S
∗n KS
n
= S
∗n T S
n
− S
∗n AS
n
= S
∗n T S
n
− A → 0.
Notant P n = I − Q n la projection complémentaire de Q n , qui est d’image
Vect(e 1 , . . . , e n−1 ) et de rang n − 1, on a donc d’après (VII.37) :
(I − P n )K(I − P n ) = K − (P n K + KP n − P n KP n )
de f
= K − R n → 0,
ce qui montre que K est limite en norme-opérateur de la suite d’opérateurs de rang fini
R n , et par suite est compact (P 7.12), comme annoncé.
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