2. Solutions
(3) Supposons G {0}. Soit alors x un vecteur normé de G. Le système constitué par
x et les f n est orthonormé, on peut donc le compléter en une base orthonormée (g n ) de
H. Et d’après les propriétés de la norme Hilbert-Schmidt établies dans l’Ex. VII.19, on
a puisque T
∗
= U
∗
− I :
h
2
= T
2
2 =
∞
n=1
T
∗
g n
2
≥
∞
n=1
T
∗ f n
2
+ T
∗ x
2
=
∞
n=1
U
∗ f n − f n
2
+ U
∗ x − x
2
=
∞
n=1
e n − f n
2
+ x
2
= h
2
+ 1,
autrement dit h
2
≥ h
2
+ 1, ce qui est absurde. Par conséquent, G = {0}, ce qui veut
exactement dire que ( f n ) est une base orthonormée de H.
Exercice VII.27
(1) On observe que
S
∗ T S e j , e i = T S e j , S e i = T e j+1 , e i+1 = t i+1, j+1
et que, si A, B ∈ L(H), alors
A = B ⇐⇒ ⇒Ae j , e i = Be j , e i ∀i, j.
L’équivalence demandée découle immédiatement de ces deux observations.
(2) On sait que, si x =
∞
j=0 x j e j ∈ H, on a
S
∗n x
2
=
∞
j=n
x j e j−n
2
=
∞
j=n
|x j |
2
→ 0.
Autrement dit, la suite de fonctions (S
∗n ) converge simplement vers zéro. Comme d’autre
part S
∗n
= 1, cette suite de fonctions (S
∗n ) est équicontinue, donc uniformément
convergente vers zéro sur tout compact de H, d’après le théorème d’Ascoli (P 2.3). Si
maintenant K ∈ L(H) est compact, et si B est la boule unité fermée de H, X = K(B)
(=K(B)) est compact dans H, et donc
S
∗n K = sup
x∈X
|S
∗n (x)| → 0.
Comme d’autre part
S
∗n KS
n
≤ ≤S
∗n KS
n
= S
∗n K,
on a les résultats demandés.
(3) 2 =⇒ 1 :
Si T = A + K, on a
S
∗n T S
n
= S
∗n AS
n
+ S
∗n KS
n
= A + S
∗n KS
n
→ A + 0 = A
en norme-opérateur, d’après la question précédente.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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