Chapitre VII • Opérateurs compacts
(3)
+∞
k=1
1
k 4 est, à un facteur scalaire près, la somme des carrés des valeurs propres
de T . On peut donc l’expliciter en appliquant (P 8.5), K
2
2 est la somme des carrés des
valeurs propres de T ; donc
1 + π
−4
+∞
k=1
1
k 4 =
1
0
t
2
t
0
(x + 1)
2 dx
dt +
1
0
x
2
x
0
(t + 1)
2 dt
dx
=
2
3
1
0
t
2 (t
3
+ 3t
2
+ 3t)dt =
91
90
.
On obtient
+∞
k=1
1
k 4 =
π
4
90
.
Remarque : On peut comparer ce dernier résultat à celui de l’Ex. VIII.2 obtenu à partir
d’un autre opérateur intégral.
Exercice VII.26
(1) (i) Posons h = (
∞
n=1 e n − f n
2 )
1
2 . Soit x =
∞
n=1 x n e n ∈ H, avec
∞
n=1 |x n |
2
= x
2
< ∞. Alors, la série
∞
n=1 x n f n converge dans H, comme somme de
la série convergente
x n e n et de la série absolument convergente
x n ( f n − e n ). On a en
effet par Cauchy-Schwarz (P 5.4)
∞
n=1
|x n || f n − e n ≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
|x n |
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
2
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
e n − f n
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
2
= hx.
On peut alors poser U x =
∞
n=1 x n f n , et ce qui précède nous donne
U x ≤ ≤x + hx = (1 + h)x, et Ue n = f n pour tout n ∈ N
∗
.
Ceci montre que U ∈ L(H) et U ≤ 1 + h. L’opérateur U répond à la question.
(ii) Soit n ∈ N
∗ et y =
∞
j=1 y j e j ∈ H. On voit que
U
∗ f n , y = f n , Uy =
f n ,
∞
j=1
y j f j
=
∞
j=1
y j f n , f j = y n = e n , y,
d’où U
∗ f n = e n par identification. Et si x ∈ G = F
⊥ , on a cette fois, en notant que
U(H) ⊂ F par construction :
U
∗ x, y = x, Uy = 0 = 0, y,
d’où U
∗ x = 0 par identification.
(2) On a par construction T e n = f n − e n , donc le fait que T est Hilbert-Schmidt n’est
rien d’autre que l’hypothèse sur les f n . Et on a T 2 = h.
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