2. Solutions
(2) Comme T est auto-adjoint, toute valeur propre est réelle. L’équation aux (valeurs
propres, vecteurs propres), (λ, f ), est
λ f (x) = x
x
0
(t + 1) f (t)dt + (x + 1)
1
x
t f (t)dt.
(VII.35)
On va en déduire, par dérivations successives, une équation différentielle en f associée
à des conditions aux limites, comme on l’a déjà fait dans d’autres exercices. On obtient
après simplification :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
λ f
(x) =
x
0
(t + 1) f (t)dt +
1
x
t f (t)dt
λ f
(x) = f (x)
λ f (0) =
1
0
t f (t)dt = λ f
(0)
λ f (1) =
1
0
(t + 1) f (t)dt = λ f
(1)
Le système suivant est alors équivalent à (VII.35).
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
λ f
(x) = f (x)
f (0) = f
(0)
f (1) = f
(1)
Deux cas sont à étudier.
(i) λ = μ
−2 , μ > 0. Alors
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
f (x) = A exp(μx) + B exp(−μx)
(μ − 1)A − (μ + 1)B = 0
(μ − 1) exp(μ)A − (μ + 1) exp(−μ)B = 0
Un couple (A, B) (0, 0) est solution si et seulement si μ
2
= 1 donc μ = 1. Alors
B = 0, f (x) = A exp(x). (1, Vect( f 0 )), où f 0 (x) = exp x est le seul couple solution.
(ii) λ = −μ
−2 , μ > 0. Alors
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
f (x) = A cos(μx) + B sin(μx)
μB − A = 0
B(1 + μ
2 ) sin μ = 0
Un couple (A, B) (0, 0) est solution si et seulement si sin(μ) = 0 donc μ = kπ, k ∈ N
∗ .
Alors
{(−(kπ)
−2
, Vect( f k ), f k (x) = kπ cos(kπx) + sin(kπx), k ∈ N
∗
}
sont les solutions.
On a trouvé des valeurs propres négatives ; T n’est donc pas un opérateur positif, bien
que son noyau K soit une fonction positive.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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