Chapitre VII • Opérateurs compacts
Cela a un sens, car la série
x n v n est convergente dans H, ses sommes partielles formant
une suite de Cauchy grâce à l’orthonormalité des v n :
q
n=p+1
x n v n
2
=
q
n=p+1
|x n |
2
→ 0 quand p, q → ∞.
De plus, T x = x pour tout x, d’après la relation de Parseval pour les e n et pour les v n .
Et l’opérateur T répond à la question, puisqu’en utilisant l’orthogonalité de v n et A n e n ,
on a :
T − A n ≥ ≥T e n − A n e n = v n − A n e n = (v n
2
+ A n e n
2 )
1
2
= (1 + A n e n
2 )
1
2 ≥ 1.
On notera le caractère « théorie des jeux » de cette construction : la suite (A n ) étant
donnée, on répond en fabriquant un opérateur T qui est loin de tous les A n à la fois.
(4) (i). Les sommes A n + K m forment un ensemble dénombrable qu’on peut organiser en une seule suite (B j ). Par exemple, si h : N
∗
→ N
∗
× N
∗ est une bijection et si
h( j) = (n j , m j ), on peut prendre B j = A n j + K m j . D’après la question (3) appliquée à la
suite (B j ), on peut trouver T ∈ L(H) tel que T − B j ≥ 1 pour tout j ≥ 1. L’opérateur T
répond à la question.
(ii). Soit K ∈ K(H) et n un entier ≥ 1. Il existe une suite d’entiers (μ l ) de limite
infinie telle que K μ l tende vers K quand l → ∞. Mais on a d’après (4)(i) :
T − A n − K μ l ≥ 1.
Le passage à la limite dans cette inégalité, quand l → ∞, donne
T − A n − K ≥ 1.
Notons que la non-séparabilité de l’algèbre de Calkin C(H) reste valable si H n’est plus
séparable, en utilisant ce qui précède pour un sous-espace séparable H 0 de H de dimension infinie, et la projection orthogonale de H sur H 0 .
Exercice VII.25
(1) Par (P 7.1) et (P 7.4), T est un opérateur compact auto-adjoint.
Si T f = λ f pour un λ 0, alors f ∈ Im(T ).
Pour tous f ∈ H, x ∈ [0, 1], (T f )(x) = x
x
0
(t + 1) f (t)dt + (x + 1)
1
x
t f (t)dt,
donc T f est une fonction continue. Comme tout vecteur propre f relatif à une valeur
propre non nulle λ vérifie f = λ
−1 T f , c’est une fonction continue.
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Cela a un sens, car la série
x n v n est convergente dans H, ses sommes partielles formant
une suite de Cauchy grâce à l’orthonormalité des v n :
q
n=p+1
x n v n
2
=
q
n=p+1
|x n |
2
→ 0 quand p, q → ∞.
De plus, T x = x pour tout x, d’après la relation de Parseval pour les e n et pour les v n .
Et l’opérateur T répond à la question, puisqu’en utilisant l’orthogonalité de v n et A n e n ,
on a :
T − A n ≥ ≥T e n − A n e n = v n − A n e n = (v n
2
+ A n e n
2 )
1
2
= (1 + A n e n
2 )
1
2 ≥ 1.
On notera le caractère « théorie des jeux » de cette construction : la suite (A n ) étant
donnée, on répond en fabriquant un opérateur T qui est loin de tous les A n à la fois.
(4) (i). Les sommes A n + K m forment un ensemble dénombrable qu’on peut organiser en une seule suite (B j ). Par exemple, si h : N
∗
→ N
∗
× N
∗ est une bijection et si
h( j) = (n j , m j ), on peut prendre B j = A n j + K m j . D’après la question (3) appliquée à la
suite (B j ), on peut trouver T ∈ L(H) tel que T − B j ≥ 1 pour tout j ≥ 1. L’opérateur T
répond à la question.
(ii). Soit K ∈ K(H) et n un entier ≥ 1. Il existe une suite d’entiers (μ l ) de limite
infinie telle que K μ l tende vers K quand l → ∞. Mais on a d’après (4)(i) :
T − A n − K μ l ≥ 1.
Le passage à la limite dans cette inégalité, quand l → ∞, donne
T − A n − K ≥ 1.
Notons que la non-séparabilité de l’algèbre de Calkin C(H) reste valable si H n’est plus
séparable, en utilisant ce qui précède pour un sous-espace séparable H 0 de H de dimension infinie, et la projection orthogonale de H sur H 0 .
Exercice VII.25
(1) Par (P 7.1) et (P 7.4), T est un opérateur compact auto-adjoint.
Si T f = λ f pour un λ 0, alors f ∈ Im(T ).
Pour tous f ∈ H, x ∈ [0, 1], (T f )(x) = x
x
0
(t + 1) f (t)dt + (x + 1)
1
x
t f (t)dt,
donc T f est une fonction continue. Comme tout vecteur propre f relatif à une valeur
propre non nulle λ vérifie f = λ
−1 T f , c’est une fonction continue.
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