2. Solutions
Montrons qu’elle nous permet de conclure :
(i) T N borné de rang fini. T N est de rang fini puisque
Im(T N ) ⊆ Vect(T e j , j = 1, . . . , N).
Il est trivialement borné vu son écriture.
(ii) T = lim N T N . Soit x =
∞
n=1 x n e n ∈ H. Puisque la série précédente converge
dans H et puisque T est continu, on peut écrire T x =
∞
n=1 x n T e n et par différence, on a
T x − T N x =
∞
n=N+1 x n T e n , d’où
(T − T N )x =
+∞
n=N+1
x n T e n ≤
+∞
n=N+1
|x n | |T e n
≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
+∞
n=N+1
|x n |
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
2
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
+∞
n=N+1
T e N
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/2
≤ ≤x
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
+∞
n=N+1
T e N
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/2
de f
= r N x.
D’où T −T N ≤ r N (on a utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz (P 5.4) et celle de Bessel
(P 5.11)).
Mais r
2
N est le reste à l’ordre N d’une série numérique convergente, donc r N tend vers
0 lorsque N → +∞, ce qui montre que lim N (T − T N ) = 0, et que T ∈ K 0 (H) = K(H)
(P 7.12).
(3) On utilise le fabuleux théorème de Fubini-Tonelli qui nous dit que, puisque
u m,n = ||T e n , f m |
2 est positive, on peut écrire sans aucune précaution
∞
n=1
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
m=1
u m,n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
∞
m=1
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
u m,n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
(VII.33)
Le membre de gauche de (VII.33) vaut
∞
n=1 T e n
2 , par Parseval (P 5.11(iii)) pour la
base orthonormée ( f m ). D’autre part, puisque T est continu, il possède un adjoint, et l’on
a aussi u m,n = ||e n , T
∗ f m |
2 . Dès lors, par Parseval pour la base orthonormée (e n ), on a
∞
n=1
u m,n =
∞
n=1
||T
∗ f m , e n |
2
= T
∗ f m
2
,
et le membre de droite de (VII.33) vaut
∞
m=1 T
∗ f m
2 . (VII.33) implique donc, pour
tout couple de bases orthonormées (e n ), ( f m ) de H et tout T ∈ L(H) :
∞
n=1
T e n
2
=
∞
m=1
T
∗ f m
2
.
(VII.34)
En faisant (e n ) = ( f m ), on trouve en particulier
∞
n=1 T f n
2
=
∞
m=1 T
∗ f m
2
. En reportant dans (VII.34), on obtient la relation souhaitée
∞
n=1
T e n
2
=
∞
n=1
T f n
2
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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