Chapitre VII • Opérateurs compacts
Remarque VII.3 : La condition imposée en (2) est plus restreinte que celle de (1) :
+∞
n=1 T e n
2
< ∞ ⇒ lim n T e n = 0. Les opérateurs de Hilbert-Schmidt rencontrés en
(2) forment donc une partie seulement des opérateurs compacts sur H.
Remarque VII.4 : On notera la différence des conditions imposées en (1) et (2) ou
(3). En (1) la condition trouvée est valable pour toute suite orthonormale, en (2) et (3)
la condition intervient a priori sur une base orthonormale choisie, mais on démontre a
posteriori qu’elle vaut sur toute base orthonormale. En ce qui concerne (2), on pourra
voir aussi le chapitre suivant.
Exercice VII.20
(1) Un opérateur normal (D 6.3) T vérifie T
∗ u = T u pour tout u ∈ H. On écrit
donc ici, avec u = T x et en utilisant Cauchy-Schwarz :
T x
2
= T x, T x = T
∗ T x, x ≤ ≤T
∗ T x x = T
2 x x.
(2) (i) T
2 compact et T normal ⇒ T compact.
Soit (x n ) une suite de la boule unité M de H. Utilisons (1) pour montrer que
(T
2 x n ) de Cauchy =⇒ (T x n ) de Cauchy.
En effet, il résulte de (1) que
T x p − T x q
2
≤ ≤T
2 x p − T
2 x q x p − x q ≤ 2T
2 x p − T
2 x q ,
ce qui donne le résultat. Soit alors (y n ) une suite quelconque de M. Puisque T
2 est compact, elle contient une sous-suite (x n ) telle que la suite (T
2 x n ) soit convergente, donc de
Cauchy. Alors, la suite (T x n ) est de Cauchy, donc convergente, ce qui montre que T est
compact.
(ii) T
d compact et T normal ⇒ T compact.
Changeons x en T
d−2 x dans (1). Il vient T
d−1 x
2
≤ ≤T
d x T
d−2 x, d’où il résulte
comme en (2) que T
d−1 est compact. De proche en proche, T
d−2
, . . . , T
2
, T sont compacts.
Remarque : Pour la preuve , on a seulement utilisé le caractère hyponormal de T , i.e.
le fait qu’il vérifie l’inégalité
T
∗ u ≤ ≤T u pour tout u ∈ H,
de façon équivalente T
∗ T − T T
∗
≥ 0. La preuve et la conclusion de l’exercice valent
donc également pour un opérateur hyponormal. En dimension finie, les deux notions
(normal-hyponormal) coïncident, via le fait que
T
∗ T − T T
∗
≥ 0 et Tr (T
∗ T − T T
∗ ) = 0 =⇒ T
∗ T − T T
∗
= 0.
Elles coïncident aussi (cf. Halmos) si T est compact.
186
Remarque VII.3 : La condition imposée en (2) est plus restreinte que celle de (1) :
+∞
n=1 T e n
2
< ∞ ⇒ lim n T e n = 0. Les opérateurs de Hilbert-Schmidt rencontrés en
(2) forment donc une partie seulement des opérateurs compacts sur H.
Remarque VII.4 : On notera la différence des conditions imposées en (1) et (2) ou
(3). En (1) la condition trouvée est valable pour toute suite orthonormale, en (2) et (3)
la condition intervient a priori sur une base orthonormale choisie, mais on démontre a
posteriori qu’elle vaut sur toute base orthonormale. En ce qui concerne (2), on pourra
voir aussi le chapitre suivant.
Exercice VII.20
(1) Un opérateur normal (D 6.3) T vérifie T
∗ u = T u pour tout u ∈ H. On écrit
donc ici, avec u = T x et en utilisant Cauchy-Schwarz :
T x
2
= T x, T x = T
∗ T x, x ≤ ≤T
∗ T x x = T
2 x x.
(2) (i) T
2 compact et T normal ⇒ T compact.
Soit (x n ) une suite de la boule unité M de H. Utilisons (1) pour montrer que
(T
2 x n ) de Cauchy =⇒ (T x n ) de Cauchy.
En effet, il résulte de (1) que
T x p − T x q
2
≤ ≤T
2 x p − T
2 x q x p − x q ≤ 2T
2 x p − T
2 x q ,
ce qui donne le résultat. Soit alors (y n ) une suite quelconque de M. Puisque T
2 est compact, elle contient une sous-suite (x n ) telle que la suite (T
2 x n ) soit convergente, donc de
Cauchy. Alors, la suite (T x n ) est de Cauchy, donc convergente, ce qui montre que T est
compact.
(ii) T
d compact et T normal ⇒ T compact.
Changeons x en T
d−2 x dans (1). Il vient T
d−1 x
2
≤ ≤T
d x T
d−2 x, d’où il résulte
comme en (2) que T
d−1 est compact. De proche en proche, T
d−2
, . . . , T
2
, T sont compacts.
Remarque : Pour la preuve , on a seulement utilisé le caractère hyponormal de T , i.e.
le fait qu’il vérifie l’inégalité
T
∗ u ≤ ≤T u pour tout u ∈ H,
de façon équivalente T
∗ T − T T
∗
≥ 0. La preuve et la conclusion de l’exercice valent
donc également pour un opérateur hyponormal. En dimension finie, les deux notions
(normal-hyponormal) coïncident, via le fait que
T
∗ T − T T
∗
≥ 0 et Tr (T
∗ T − T T
∗ ) = 0 =⇒ T
∗ T − T T
∗
= 0.
Elles coïncident aussi (cf. Halmos) si T est compact.
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