Chapitre VII • Opérateurs compacts
Exercice VII.18
(1) Si λ 0 σ(T + K), on a
S (T − λ 0 I) = S (T + K − λ 0 I − K) = I − S K.
(VII.31)
Donc [(T − λ 0 I)x = 0] ⇔ [(I − S K)x = 0].
(VII.32)
(2) Si λ 0 σ p (T ), I−S K est injectif d’après (VII.32), donc inversible d’après (P 7.11)
car S K, produit de K compact et de S continu, est compact. Mais alors, d’après (VII.31),
T − λ 0 I = S
−1 (I − S K) est inversible, comme produit d’opérateurs inversibles. Et cette
contradiction montre qu’on a bien λ 0 ∈ σ p (T ).
(3) C’est un raisonnement sur les sous-ensembles de C.
Soit M =
K∈K (E) σ(T + K) ; on a M ⊆ σ(T ) (usage de K = 0).
Soit λ ∈ σ(T ) \ M, alors il existe K ∈ K(E) tel que λ σ(T + K).
D’après (2), on doit alors avoir λ ∈ σ p (T ). L’égalité (VII.3) est donc valable.
Exercice VII.19
(1) Rappelons qu’une suite orthonormale (g n ) est faiblement convergente vers 0. En
effet,
y ∈ H =⇒
∞
n=1
||y, g n |
2
≤ ≤y
2
par l’inégalité de Bessel, et y, g n → 0 car le terme général d’une série convergente tend
vers zéro !
Montrons alors que la suite T g n admet 0 pour unique valeur d’adhérence. Comme cette
suite est à valeurs dans un compact (la fermeture de l’image par T de la boule unité
fermée de H), il en résultera que T g n → 0 (cf. P 9.11). Soit donc y une telle valeur
d’adhérence. Il existe une suite croissante d’entiers (n j ) j≥1 telle que T g n j → y. On a
alors, si z ∈ H :
T g n j , z = g n j , T
∗ z → 0 et T g n j , z → →y, z,
d’où y, z = 0 et ensuite y = 0 en faisant z = y. D’où le résultat demandé.
(2) Dans le cas d’un espace de Hilbert, on sait que l’ensemble des opérateurs compacts n’est autre que l’adhérence de l’ensemble des opérateurs bornés de rang fini
(P 7.12). On note h = (
+∞
n=1 T e n
2 )
1/2 . La condition imposée à la famille des T e n suggère l’usage (procédé classique) de la suite d’opérateurs T N définis par, si x =
∞
n=1 x n e n
avec
∞
n=1 |x n |
2
< ∞ :
T N x =
N
n=1
x n T e n =
N
n=1
x, e n T e n .
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Exercice VII.18
(1) Si λ 0 σ(T + K), on a
S (T − λ 0 I) = S (T + K − λ 0 I − K) = I − S K.
(VII.31)
Donc [(T − λ 0 I)x = 0] ⇔ [(I − S K)x = 0].
(VII.32)
(2) Si λ 0 σ p (T ), I−S K est injectif d’après (VII.32), donc inversible d’après (P 7.11)
car S K, produit de K compact et de S continu, est compact. Mais alors, d’après (VII.31),
T − λ 0 I = S
−1 (I − S K) est inversible, comme produit d’opérateurs inversibles. Et cette
contradiction montre qu’on a bien λ 0 ∈ σ p (T ).
(3) C’est un raisonnement sur les sous-ensembles de C.
Soit M =
K∈K (E) σ(T + K) ; on a M ⊆ σ(T ) (usage de K = 0).
Soit λ ∈ σ(T ) \ M, alors il existe K ∈ K(E) tel que λ σ(T + K).
D’après (2), on doit alors avoir λ ∈ σ p (T ). L’égalité (VII.3) est donc valable.
Exercice VII.19
(1) Rappelons qu’une suite orthonormale (g n ) est faiblement convergente vers 0. En
effet,
y ∈ H =⇒
∞
n=1
||y, g n |
2
≤ ≤y
2
par l’inégalité de Bessel, et y, g n → 0 car le terme général d’une série convergente tend
vers zéro !
Montrons alors que la suite T g n admet 0 pour unique valeur d’adhérence. Comme cette
suite est à valeurs dans un compact (la fermeture de l’image par T de la boule unité
fermée de H), il en résultera que T g n → 0 (cf. P 9.11). Soit donc y une telle valeur
d’adhérence. Il existe une suite croissante d’entiers (n j ) j≥1 telle que T g n j → y. On a
alors, si z ∈ H :
T g n j , z = g n j , T
∗ z → 0 et T g n j , z → →y, z,
d’où y, z = 0 et ensuite y = 0 en faisant z = y. D’où le résultat demandé.
(2) Dans le cas d’un espace de Hilbert, on sait que l’ensemble des opérateurs compacts n’est autre que l’adhérence de l’ensemble des opérateurs bornés de rang fini
(P 7.12). On note h = (
+∞
n=1 T e n
2 )
1/2 . La condition imposée à la famille des T e n suggère l’usage (procédé classique) de la suite d’opérateurs T N définis par, si x =
∞
n=1 x n e n
avec
∞
n=1 |x n |
2
< ∞ :
T N x =
N
n=1
x n T e n =
N
n=1
x, e n T e n .
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