2. Solutions
convergeant vers x. Le passage à la limite dans x n j − y → a donne x − y = a. Le
vecteur x joue le rôle de « projection orthogonale » de y sur F.
(ii) Le système cherché.
On va former le système souhaité par récurrence à l’aide de (i). Soit e 1 un vecteur normé
quelconque de E. Supposons ensuite construits des vecteurs normés e 1 , . . . , e n tels que
1 ≤ i, j ≤ n et i j =⇒ ⇒e i − e j ≥ 1.
Posons F = Vect(e 1 , . . . , e n ). On a F E puisque dim F < ∞ et dim E = ∞. Soit donc
y ∈ E \ F, et a = d(y, F) > 0. D’après (i), il existe x ∈ F tel que y − x = a. Posons
alors e n+1 =
y−x
a . Ce vecteur est normé, et de plus
1 ≤ j ≤ n =⇒ ⇒e n+1 − e j =
y − (x + ae j )
a
=
1
a
y − (x + ae j ) ≥
a
a
= 1,
en utilisant le fait que x + ae j ∈ F. On voit donc qu’on peut construire par récurrence
une suite infinie (e n ) ayant la propriété requise.
(2) À l’aide de (1), on peut agir comme dans l’espace de Hilbert. La suite (e n ) est
bornée, et ne contient aucune sous-suite convergente d’après (VII.1). L’identité n’est
donc pas compacte. Le résultat n’est d’ailleurs rien d’autre que le célèbre Théorème de
Riesz (P 2.2).
(3) La démarche adapte celle de l’Ex. VII.16 (cf. aussi Ex. IV.10(3)).
(i) Remplacer A par un opérateur injectif.
On ne peut pas utiliser un supplémentaire de ker A, il peut ne pas en exister. On peut alors
faire intervenir l’espace-quotient E/ ker A. Soit B défini par {E/ ker A → F, [x] → Ax}
(cf. Ex. VII.16). L’opérateur B est compact et injectif, avec même image que A. On peut
donc supposer A injectif.
(ii) Remplacer A par un opérateur bijectif.
Soit G un sous-espace fermé de dimension infinie de Im(A), et H = B
−1 (G). Alors, H est
un sous-espace fermé de E, et la restriction de A à H est une bijection linéaire continue
et compacte de H sur G. On peut donc supposer A bijectif de E sur F.
D’après le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16), l’application A
−1 : F → E est
continue.
Agissons alors comme dans l’Ex. VII.16. Soit I E l’opérateur identité sur E. Nous avons
I E = A
−1 A, donc I E est compact d’après (P 7.10) (le produit d’un opérateur continu par
un opérateur compact est un opérateur compact).
Par (1), ceci ne peut être vrai si dim E = ∞. Im(A) ne contient donc aucun sous-espace
fermé de dimension infinie.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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convergeant vers x. Le passage à la limite dans x n j − y → a donne x − y = a. Le
vecteur x joue le rôle de « projection orthogonale » de y sur F.
(ii) Le système cherché.
On va former le système souhaité par récurrence à l’aide de (i). Soit e 1 un vecteur normé
quelconque de E. Supposons ensuite construits des vecteurs normés e 1 , . . . , e n tels que
1 ≤ i, j ≤ n et i j =⇒ ⇒e i − e j ≥ 1.
Posons F = Vect(e 1 , . . . , e n ). On a F E puisque dim F < ∞ et dim E = ∞. Soit donc
y ∈ E \ F, et a = d(y, F) > 0. D’après (i), il existe x ∈ F tel que y − x = a. Posons
alors e n+1 =
y−x
a . Ce vecteur est normé, et de plus
1 ≤ j ≤ n =⇒ ⇒e n+1 − e j =
y − (x + ae j )
a
=
1
a
y − (x + ae j ) ≥
a
a
= 1,
en utilisant le fait que x + ae j ∈ F. On voit donc qu’on peut construire par récurrence
une suite infinie (e n ) ayant la propriété requise.
(2) À l’aide de (1), on peut agir comme dans l’espace de Hilbert. La suite (e n ) est
bornée, et ne contient aucune sous-suite convergente d’après (VII.1). L’identité n’est
donc pas compacte. Le résultat n’est d’ailleurs rien d’autre que le célèbre Théorème de
Riesz (P 2.2).
(3) La démarche adapte celle de l’Ex. VII.16 (cf. aussi Ex. IV.10(3)).
(i) Remplacer A par un opérateur injectif.
On ne peut pas utiliser un supplémentaire de ker A, il peut ne pas en exister. On peut alors
faire intervenir l’espace-quotient E/ ker A. Soit B défini par {E/ ker A → F, [x] → Ax}
(cf. Ex. VII.16). L’opérateur B est compact et injectif, avec même image que A. On peut
donc supposer A injectif.
(ii) Remplacer A par un opérateur bijectif.
Soit G un sous-espace fermé de dimension infinie de Im(A), et H = B
−1 (G). Alors, H est
un sous-espace fermé de E, et la restriction de A à H est une bijection linéaire continue
et compacte de H sur G. On peut donc supposer A bijectif de E sur F.
D’après le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16), l’application A
−1 : F → E est
continue.
Agissons alors comme dans l’Ex. VII.16. Soit I E l’opérateur identité sur E. Nous avons
I E = A
−1 A, donc I E est compact d’après (P 7.10) (le produit d’un opérateur continu par
un opérateur compact est un opérateur compact).
Par (1), ceci ne peut être vrai si dim E = ∞. Im(A) ne contient donc aucun sous-espace
fermé de dimension infinie.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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