Chapitre VII • Opérateurs compacts
E
A
X
y
π
[X]
B
F
E / ker A
Remarque VII.2 : On est attentif à l’usage de la somme directe topologique dans (2).
Même si on fait souvent des abus de langage en considérant E comme sous-espace de
E ⊕ F, c’est l’espace noté ci-dessous E + 0 qui est dans E ⊕ F. E et F sont deux espaces
distincts et plongés dans E ⊕ F par les applications Q 1 et Q 2 . E, F ne sont vraiment des
sous-espaces de E ⊕ F que dans le cadre de la définition (D 1.13) où la donnée initiale
est celle de G écrit ensuite sous la forme E ⊕ F. Dans ce cas la norme de G est aussi une
donnée, elle est une « norme équivalente » selon (D 1.12).
E
P 1
Q 1
Q 2
P 2
E + 0
y
*
*
x
y
Z + 0
+ 0
Z
F + 0
E F
F
Exercice VII.17
(1) On cherche à former un système libre « remplaçant » le système orthonormal
de l’espace de Hilbert, en adaptant la technique de construction d’un système orthonormé. Le système cherché pourra être construit pas récurrence si nous savons gérer la
distance d’un vecteur normé à l’espace engendré par les vecteurs connus, c’est-à-dire
Vect(e 1 , . . . , e n ).
(i) Vecteur normé « presque » orthogonal à un sous-espace F de E.
Soit F un sous-espace de E de dimension finie, et y ∈ E, y F. Notons
d(y, F) = inf(x − y ; x ∈ F) = a > 0, et montrons d’abord que cette distance est
« atteinte ». En effet, soit (x n ) une suite de F telle que x n − y → a. x n ≤ ≤x n − y + y,
donc (x n ) est bornée, et comme dim F < ∞, il existe x ∈ F et une suite extraite (x n j )
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