2. Solutions
A(M) = B(N) et M est borné. Son image A(M) est donc relativement compacte et B
est compact.
(2) On reconstruit A à partir de B (notation de (1)) en utilisant l’application canonique
π avec les propriétés (P 2.9). π : {E → E 1 , x → [x]} est continue.
A = Bπ. Comme A est le produit d’un opérateur compact par un opérateur continu, par
(P 7.10), A est compact.
(3) Notons G = E ⊕ F et x = y + z, y ∈ E, z ∈ F, un vecteur de G.
(i) B, C compacts ⇒.
Par la définition de la somme directe topologique (D 1.12) si x = y + z, y ∈ E, z ∈ F,
les applications P 1 : {G → E, x → y} et P 2 : {G → F, x → z}, sont continues. De la
même façon, les applications Q 1 : {F → E, y → y + 0}, Q 2 : {G → E, z → z + 0} sont
continues. On peut écrire
Ax = By + Cz = BP 1 x + CP 2 x = (BP 1 x + 0) + (0 + CP 2 x)
= (Q 1 BP 1 x) + (Q 2 CP 2 x), soit A = Q 1 BP 1 + Q 2 CP 2 .
Par application de (P 7.10), A est alors compact puisqu’il est construit par un produit
d’un opérateur compact par un opérateur borné, puis une somme d’opérateurs compacts.
Remarquons qu’on peut aussi raisonner en appliquant la définition ; un ensemble borné
M de E est inclus dans un ensemble borné M 1 ⊕ M 2 de E ⊕ F avec M 1 ⊆ E, M 2 ⊆ F.
A(M 1 ⊕ M 2 ) = B(M 1 )⊕C(M 2 ) est une somme directe d’ensembles relativement compacts
donc est relativement compact, si bien que A(M) est relativement compact.
(ii) A compact ⇒.
Tout ensemble borné M ⊂ E ⊕ F est transformé par A en un ensemble relativement
compact. Et si M ⊂ F, son image A(M) sera une partie relativement compacte de E ⊕ F,
donc une partie relativement compacte de F (une boule ouverte de F est la trace de la
boule ouverte de E ⊕ F de même centre et de même rayon). Comme A(M) = C(N), C
est aussi un opérateur compact. Il en est de même de B.
(4) Un ensemble borné de G est aussi un ensemble borné de E.
Un ensemble N relativement compact de G est trivialement un ensemble relativement
compact de E.
Soit alors M ⊆ G, M borné. N = A(M) = D(M) est relativement compact dans G, et par
suite D est compact.
Remarque VII.1 : La question (1) utilise un espace-quotient ; ce n’est pas un sousespace de E, seule une identification peut être faite si un supplémentaire topologique de
ker A existe. Sinon, le schéma suivant montre la factorisation de A par π utilisée.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
181
A(M) = B(N) et M est borné. Son image A(M) est donc relativement compacte et B
est compact.
(2) On reconstruit A à partir de B (notation de (1)) en utilisant l’application canonique
π avec les propriétés (P 2.9). π : {E → E 1 , x → [x]} est continue.
A = Bπ. Comme A est le produit d’un opérateur compact par un opérateur continu, par
(P 7.10), A est compact.
(3) Notons G = E ⊕ F et x = y + z, y ∈ E, z ∈ F, un vecteur de G.
(i) B, C compacts ⇒.
Par la définition de la somme directe topologique (D 1.12) si x = y + z, y ∈ E, z ∈ F,
les applications P 1 : {G → E, x → y} et P 2 : {G → F, x → z}, sont continues. De la
même façon, les applications Q 1 : {F → E, y → y + 0}, Q 2 : {G → E, z → z + 0} sont
continues. On peut écrire
Ax = By + Cz = BP 1 x + CP 2 x = (BP 1 x + 0) + (0 + CP 2 x)
= (Q 1 BP 1 x) + (Q 2 CP 2 x), soit A = Q 1 BP 1 + Q 2 CP 2 .
Par application de (P 7.10), A est alors compact puisqu’il est construit par un produit
d’un opérateur compact par un opérateur borné, puis une somme d’opérateurs compacts.
Remarquons qu’on peut aussi raisonner en appliquant la définition ; un ensemble borné
M de E est inclus dans un ensemble borné M 1 ⊕ M 2 de E ⊕ F avec M 1 ⊆ E, M 2 ⊆ F.
A(M 1 ⊕ M 2 ) = B(M 1 )⊕C(M 2 ) est une somme directe d’ensembles relativement compacts
donc est relativement compact, si bien que A(M) est relativement compact.
(ii) A compact ⇒.
Tout ensemble borné M ⊂ E ⊕ F est transformé par A en un ensemble relativement
compact. Et si M ⊂ F, son image A(M) sera une partie relativement compacte de E ⊕ F,
donc une partie relativement compacte de F (une boule ouverte de F est la trace de la
boule ouverte de E ⊕ F de même centre et de même rayon). Comme A(M) = C(N), C
est aussi un opérateur compact. Il en est de même de B.
(4) Un ensemble borné de G est aussi un ensemble borné de E.
Un ensemble N relativement compact de G est trivialement un ensemble relativement
compact de E.
Soit alors M ⊆ G, M borné. N = A(M) = D(M) est relativement compact dans G, et par
suite D est compact.
Remarque VII.1 : La question (1) utilise un espace-quotient ; ce n’est pas un sousespace de E, seule une identification peut être faite si un supplémentaire topologique de
ker A existe. Sinon, le schéma suivant montre la factorisation de A par π utilisée.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
181