Chapitre VII • Opérateurs compacts
(3) (i) Si A
2
= 0, par (1), σ(A) = {0}, et r(A) = 0.
Or A est auto-adjoint donc r(A) = A par (P 6.6).
Alors [r(A) = 0] ⇒ [A = 0]. On peut aussi utiliser l’Ex. VII. 20 qui suit. Le même
résultat (A
2
= 0 =⇒ A = 0) vaut pour les opérateurs normaux.
(ii) Si H est de dimension finie, A auto-adjoint admet une base orthonormée de
vecteurs propres. Les valeurs propres sont gérées par la question (1) donc sont prises
dans {−1, +1} si A
2
= I. On peut alors écrire H = F ⊕ G, G = F
⊥
, A est l’identité dans F
et (- identité) dans G.
(iii) A
2 est compact et auto-adjoint ; il admet l’écriture notée en (P 7.16)
A
2
=
∞
n=1
λ n e n ⊗ e n , λ n 0 et valeur propre de A
2
.
(VII.30)
Cette écriture met en évidence les espaces propres de dimension finie relatifs à une valeur
propre non nulle (regroupement des λ n égaux) ; si l’on note par (μ p , H p , p ≥ 1) les (valeur
propre, espace propre) ainsi obtenus, les H p forment une famille orthogonale de sousespaces de dimension finie tels que
Si H 0 = ker A, H = H 0 ⊕
⊥ (Vect(H p , p ≥ 1).
H 0 et les H p sont invariants par A d’après l’étude de (2) (ii).
Dans H 0 , A se comporte selon (i) ; il est nul.
Dans H p , Aμ
−1
p se comporte comme en (ii), H p = F p ⊕
⊥ G p , F p et G p sont les espaces
propres (l’un d’eux peut être réduit à {0}) relatifs aux valeurs propres
λ p et −
λ p .
On peut alors définir une base orthonormale de H constituée de la réunion de bases
orthonormales de F p , G p et H 0 .
Pour cette base, A admet la forme décrite en (P 7.16), une valeur propre ν n de A est racine
carrée d’un λ j , donc l’espace propre est de dimension finie, au plus celle de l’espace
propre relatif à λ j . Les ν n , comptées selon leur multiplicité, forment comme les λ n une
suite finie (réelle) ou une suite de limite 0. On a reconstitué l’écriture canonique d’un
opérateur auto-adjoint compact.
On peut aussi remarquer le fait suivant : si E n = ⊕
n
p=1 H p , et K n = E
⊥
n , soit A n l’opérateur
coïncidant avec A sur E n et nul sur K n . Alors, cet opérateur est borné de rang fini et
A = lim n A n .
Exercice VII.16
(1) On a prouvé (cf. Ex. II.11) que, si A est continu, E 1 = E/ ker A est un espace de
Banach et que B est continu.
Soit N un ensemble borné de E 1 . Pour chaque [x] ∈ N, soit y ∈ [x] tel que y ≤ 2[x].
On choisit un tel y et on le note y([x]). Soit alors M = {y([x]) ; [x] ∈ N}. On a
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(3) (i) Si A
2
= 0, par (1), σ(A) = {0}, et r(A) = 0.
Or A est auto-adjoint donc r(A) = A par (P 6.6).
Alors [r(A) = 0] ⇒ [A = 0]. On peut aussi utiliser l’Ex. VII. 20 qui suit. Le même
résultat (A
2
= 0 =⇒ A = 0) vaut pour les opérateurs normaux.
(ii) Si H est de dimension finie, A auto-adjoint admet une base orthonormée de
vecteurs propres. Les valeurs propres sont gérées par la question (1) donc sont prises
dans {−1, +1} si A
2
= I. On peut alors écrire H = F ⊕ G, G = F
⊥
, A est l’identité dans F
et (- identité) dans G.
(iii) A
2 est compact et auto-adjoint ; il admet l’écriture notée en (P 7.16)
A
2
=
∞
n=1
λ n e n ⊗ e n , λ n 0 et valeur propre de A
2
.
(VII.30)
Cette écriture met en évidence les espaces propres de dimension finie relatifs à une valeur
propre non nulle (regroupement des λ n égaux) ; si l’on note par (μ p , H p , p ≥ 1) les (valeur
propre, espace propre) ainsi obtenus, les H p forment une famille orthogonale de sousespaces de dimension finie tels que
Si H 0 = ker A, H = H 0 ⊕
⊥ (Vect(H p , p ≥ 1).
H 0 et les H p sont invariants par A d’après l’étude de (2) (ii).
Dans H 0 , A se comporte selon (i) ; il est nul.
Dans H p , Aμ
−1
p se comporte comme en (ii), H p = F p ⊕
⊥ G p , F p et G p sont les espaces
propres (l’un d’eux peut être réduit à {0}) relatifs aux valeurs propres
λ p et −
λ p .
On peut alors définir une base orthonormale de H constituée de la réunion de bases
orthonormales de F p , G p et H 0 .
Pour cette base, A admet la forme décrite en (P 7.16), une valeur propre ν n de A est racine
carrée d’un λ j , donc l’espace propre est de dimension finie, au plus celle de l’espace
propre relatif à λ j . Les ν n , comptées selon leur multiplicité, forment comme les λ n une
suite finie (réelle) ou une suite de limite 0. On a reconstitué l’écriture canonique d’un
opérateur auto-adjoint compact.
On peut aussi remarquer le fait suivant : si E n = ⊕
n
p=1 H p , et K n = E
⊥
n , soit A n l’opérateur
coïncidant avec A sur E n et nul sur K n . Alors, cet opérateur est borné de rang fini et
A = lim n A n .
Exercice VII.16
(1) On a prouvé (cf. Ex. II.11) que, si A est continu, E 1 = E/ ker A est un espace de
Banach et que B est continu.
Soit N un ensemble borné de E 1 . Pour chaque [x] ∈ N, soit y ∈ [x] tel que y ≤ 2[x].
On choisit un tel y et on le note y([x]). Soit alors M = {y([x]) ; [x] ∈ N}. On a
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