2. Solutions
(ii) « Remplacer » A par un opérateur bijectif.
Soit F 1 un sous-espace fermé de dimension infinie inclus dans Im(A), E 1 = A
−1 (F 1 ),
sous -espace fermé de dimension infinie de E, B la restriction de A à E 1 . B est cette
fois un opérateur bijectif et compact de E 1 sur F 1 . Sans perte de généralité, et quitte à
remplacer respectivement E et F par E 1 et F 1 , on peut donc supposer A bijectif.
(ii) « Se ramener » à l’identité de E.
D’après le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16), l’inverse A
−1 est continu. Soit
I E l’opérateur identité sur E. On a A
−1 A = I E ; d’après (P 7.10), le produit d’un opérateur continu par un opérateur compact est un opérateur compact. I E est donc un opérateur compact, ce qui contredit (1). Im(A) ne contient donc aucun sous-espace fermé de
dimension infinie.
Exercice VII.15
(1) C’est le théorème de l’image spectrale, dont on donne une preuve dans un cas
plus général, dans l’Ex. IV.6, auquel nous renvoyons.
(2) (i) Si A = 0, la propriété est vraie, 0 est valeur propre de A.
Si A
2
= 0 et A 0, alors {0} Im(A) ⊆ ker(A), donc 0 est valeur propre de A, l’espace
propre contenant Im(A).
Si A
2
0, comme il est auto-adjoint, son rayon spectral r(A
2 ) est égal à sa norme (P 6.6),
i.e. :
A
2
= sup
ν∈σ(A 2 )
|ν|.
Il existe donc ν 0 ∈ σ(A
2 ) compact tel que ν 0 0, et même tel que |ν 0 | = A
2
.
Par (P 7.15), ν 0 est une valeur propre de A
2 et l’espace propre associé E 0 est de dimension
finie. Il est invariant par A puisque, si A
2 x = ν 0 x, on a A(A
2 x) = A
2 (Ax) = ν 0 (Ax). Dans
E 0 de dimension finie, A admet au moins une valeur propre λ. CQFD.
(ii) Si A admet deux valeurs propres distinctes et non opposées λ, μ, soient F λ , F μ
les espaces propres associés. On a [Au = λu] ⇒ [A
2 u = λ
2 u], donc λ
2
, μ
2 sont valeurs
propres pour A
2 , et par suite des nombres réels puisque A
2 est auto-adjoint et l’on a,
si E λ , E μ désignent les espaces propres associés, F λ ⊆ E λ , F μ ⊆ E μ . Comme A
2 est
auto-adjoint, E λ et E μ sont orthogonaux ; il en est de même, par inclusion, de F λ et F μ .
(iii) La réponse est NON. Il est facile de trouver un opérateur non compact de
carré nul. Soit par exemple (e n , n ∈ N
∗ ) une base orthonormée de H et
A ∈ L(H) tel que : pour tout n ∈ N
∗
, Ae 2n−1 = e 2n et Ae 2n = 0.
Il est de carré nul et non compact ; en effet la famille {e 2n−1 , n ∈ N
∗
} est un ensemble
borné, son image est un ensemble borné non relativement compact, la distance de deux
points quelconques de cette image est
√
2.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
179
(ii) « Remplacer » A par un opérateur bijectif.
Soit F 1 un sous-espace fermé de dimension infinie inclus dans Im(A), E 1 = A
−1 (F 1 ),
sous -espace fermé de dimension infinie de E, B la restriction de A à E 1 . B est cette
fois un opérateur bijectif et compact de E 1 sur F 1 . Sans perte de généralité, et quitte à
remplacer respectivement E et F par E 1 et F 1 , on peut donc supposer A bijectif.
(ii) « Se ramener » à l’identité de E.
D’après le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16), l’inverse A
−1 est continu. Soit
I E l’opérateur identité sur E. On a A
−1 A = I E ; d’après (P 7.10), le produit d’un opérateur continu par un opérateur compact est un opérateur compact. I E est donc un opérateur compact, ce qui contredit (1). Im(A) ne contient donc aucun sous-espace fermé de
dimension infinie.
Exercice VII.15
(1) C’est le théorème de l’image spectrale, dont on donne une preuve dans un cas
plus général, dans l’Ex. IV.6, auquel nous renvoyons.
(2) (i) Si A = 0, la propriété est vraie, 0 est valeur propre de A.
Si A
2
= 0 et A 0, alors {0} Im(A) ⊆ ker(A), donc 0 est valeur propre de A, l’espace
propre contenant Im(A).
Si A
2
0, comme il est auto-adjoint, son rayon spectral r(A
2 ) est égal à sa norme (P 6.6),
i.e. :
A
2
= sup
ν∈σ(A 2 )
|ν|.
Il existe donc ν 0 ∈ σ(A
2 ) compact tel que ν 0 0, et même tel que |ν 0 | = A
2
.
Par (P 7.15), ν 0 est une valeur propre de A
2 et l’espace propre associé E 0 est de dimension
finie. Il est invariant par A puisque, si A
2 x = ν 0 x, on a A(A
2 x) = A
2 (Ax) = ν 0 (Ax). Dans
E 0 de dimension finie, A admet au moins une valeur propre λ. CQFD.
(ii) Si A admet deux valeurs propres distinctes et non opposées λ, μ, soient F λ , F μ
les espaces propres associés. On a [Au = λu] ⇒ [A
2 u = λ
2 u], donc λ
2
, μ
2 sont valeurs
propres pour A
2 , et par suite des nombres réels puisque A
2 est auto-adjoint et l’on a,
si E λ , E μ désignent les espaces propres associés, F λ ⊆ E λ , F μ ⊆ E μ . Comme A
2 est
auto-adjoint, E λ et E μ sont orthogonaux ; il en est de même, par inclusion, de F λ et F μ .
(iii) La réponse est NON. Il est facile de trouver un opérateur non compact de
carré nul. Soit par exemple (e n , n ∈ N
∗ ) une base orthonormée de H et
A ∈ L(H) tel que : pour tout n ∈ N
∗
, Ae 2n−1 = e 2n et Ae 2n = 0.
Il est de carré nul et non compact ; en effet la famille {e 2n−1 , n ∈ N
∗
} est un ensemble
borné, son image est un ensemble borné non relativement compact, la distance de deux
points quelconques de cette image est
√
2.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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