Chapitre VII • Opérateurs compacts
(1) On note I = [0, 1]. On choisit pour N l’image par T de la boule unité fermée M
de E, ici N = M.
(i) N borné, équicontinu.
Soit f ∈ N. On a en particulier f ∞ ≤ 1, et N est borné dans E. On a aussi f
∞ ≤ 1.
On applique alors l’inégalité de la moyenne :
| f (y) − f (x)| ≤ |y − x| sup z∈I (| f
(z)|) ≤ |y − x|. Ceci établit le caractère équicontinu de N,
et donc sa relative compacité. T est ainsi un opérateur compact.
(2) (i) (Rappel de l’Ex. I.6).
Rappelons que, pour f : I → C, on note J = {(x, y) ∈ I
2 ; x y}, et
p α ( f ) = | f (0)| + sup (x,y)∈J
| f (x)− f (y)|
|x−y| α . On définit alors
Lip α = { f : I → C telles que p α ( f ) < ∞},
et on a f ∈ Lip α =⇒ ⇒ f ∞ ≤ p α ( f ).
(ii) T compact.
Comme dans le cas précédent, N est l’image par T de la boule unité fermée de Lip α . Si
f ∈ N, on a f ∞ ≤ p α ( f ) ≤ 1, donc N est borné dans F. Le caractère équicontinu de N
résulte du choix de la norme :
| f (x) − f (y)| ≤ p α ( f )|x − y|
α
≤ |x − y|
α
,
donc à ε donné peut être associé δ par δ
α
= ε. De nouveau, N est relativement compact,
et T est un opérateur compact.
Exercice VII.14
(1) Si H est de dimension infinie, il existe dans H une suite orthonormée infinie
S = {e n , n ∈ N
∗
}. S est un ensemble borné, [ j k] ⇒ [ e j − e k =
√
2], donc on ne peut
extraire de S aucune sous-suite convergente, et S = I(S ) n’est pas relativement compact.
(2) (i) « Remplacer » A par un opérateur injectif.
A est continu, donc ker A est un sous-espace fermé de E, et admet dans E un supplémentaire orthogonal G vérifiant (P 5.10).
Soit B la restriction de A à G. On a ker A ∩ G = {0}, donc B est un opérateur (continu)
injectif. La boule unité de G est une partie de celle de E ; son image M par B est une
partie de l’image N par A de la boule unité de E. N est compacte (P 7.8), donc M
est relativement compacte, et B est un opérateur compact. De plus, dans l’écriture de
E, E = ker A ⊕ G, x = y + z, on a Ax = Az = Bz, donc Im(A) = Im(B). On peut donc sans
perte de généralité supposer A injectif.
178
(1) On note I = [0, 1]. On choisit pour N l’image par T de la boule unité fermée M
de E, ici N = M.
(i) N borné, équicontinu.
Soit f ∈ N. On a en particulier f ∞ ≤ 1, et N est borné dans E. On a aussi f
∞ ≤ 1.
On applique alors l’inégalité de la moyenne :
| f (y) − f (x)| ≤ |y − x| sup z∈I (| f
(z)|) ≤ |y − x|. Ceci établit le caractère équicontinu de N,
et donc sa relative compacité. T est ainsi un opérateur compact.
(2) (i) (Rappel de l’Ex. I.6).
Rappelons que, pour f : I → C, on note J = {(x, y) ∈ I
2 ; x y}, et
p α ( f ) = | f (0)| + sup (x,y)∈J
| f (x)− f (y)|
|x−y| α . On définit alors
Lip α = { f : I → C telles que p α ( f ) < ∞},
et on a f ∈ Lip α =⇒ ⇒ f ∞ ≤ p α ( f ).
(ii) T compact.
Comme dans le cas précédent, N est l’image par T de la boule unité fermée de Lip α . Si
f ∈ N, on a f ∞ ≤ p α ( f ) ≤ 1, donc N est borné dans F. Le caractère équicontinu de N
résulte du choix de la norme :
| f (x) − f (y)| ≤ p α ( f )|x − y|
α
≤ |x − y|
α
,
donc à ε donné peut être associé δ par δ
α
= ε. De nouveau, N est relativement compact,
et T est un opérateur compact.
Exercice VII.14
(1) Si H est de dimension infinie, il existe dans H une suite orthonormée infinie
S = {e n , n ∈ N
∗
}. S est un ensemble borné, [ j k] ⇒ [ e j − e k =
√
2], donc on ne peut
extraire de S aucune sous-suite convergente, et S = I(S ) n’est pas relativement compact.
(2) (i) « Remplacer » A par un opérateur injectif.
A est continu, donc ker A est un sous-espace fermé de E, et admet dans E un supplémentaire orthogonal G vérifiant (P 5.10).
Soit B la restriction de A à G. On a ker A ∩ G = {0}, donc B est un opérateur (continu)
injectif. La boule unité de G est une partie de celle de E ; son image M par B est une
partie de l’image N par A de la boule unité de E. N est compacte (P 7.8), donc M
est relativement compacte, et B est un opérateur compact. De plus, dans l’écriture de
E, E = ker A ⊕ G, x = y + z, on a Ax = Az = Bz, donc Im(A) = Im(B). On peut donc sans
perte de généralité supposer A injectif.
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