2. Solutions
Par compacité, on peut recouvrir [0, 1] par un nombre fini de boules ouvertes (dans
[0, 1]) B(x j , δ) 1≤ j≤J . On sait aussi qu’on peut trouver une partition continue de l’unité
subordonnée à ce recouvrement ouvert, i.e. une suite finie (ϕ 1 , . . . , ϕ J ) de E telle que
ϕ j ≥ 0 ;
J
j=1
ϕ j (x) = 1 pour tout x ∈ [0, 1] ; et x B(x j , δ) =⇒ ϕ j (x) = 0.
Notons A ε l’opérateur de rang fini ≤ J de L(E) défini ainsi :
Pour tout f ∈ E, A ε f =
J
j=1
(A f )(x j )ϕ j .
Montrons que cet opérateur approche bien A, ce qui règlera la question. Soit f ∈ M,
g = A( f ) ∈ N, x ∈ [0, 1]. Nous avons
(A f − A ε f )(x) =
J
j=1
(A f )(x) − (A f )(x j )
ϕ j (x) =
J
j=1
(g(x) − g(x j ))ϕ j (x).
Notons l’inégalité
|g(x) − g(x j )|ϕ j (x) ≤ εϕ j (x) pour tous j, x.
En effet, cette inégalité a lieu par équicontinuité de N g si |x − x j | < δ. Et si |x − x j | ≥ δ,
ϕ j (x) = 0 et les deux membres de l’inégalité sont nuls. Reportant cette inégalité dans
l’égalité ci-dessus, on obtient donc via l’inégalité triangulaire :
|(A f − A ε f )(x)| ≤
J
j=1
|g(x) − g(x j )|ϕ j (x) ≤
J
j=1
εϕ j (x) = ε.
Passant au sup sur x, on obtient : A f − A ε f ∞ ≤ ε pour tout f ∈ M. Enfin, passant au
sup sur f ∈ M, on obtient A − A ε ≤ ε. Ceci achève la preuve.
Exercice VII.13
On utilise la définition (D 7.5).
Il s’agit de reconnaître un ensemble relativement compact dans C([0, 1]) = F.
Le théorème d’Ascoli-Arzela, avec les notations de (P 2.3), utilisées ici avec l’espace
métrique compact G = [0, 1] et l’espace de Banach H = C, nous dit qu’une partie N de
C([0, 1]) est relativement compacte si et seulement si
1. N est bornée dans E.
2. N est équicontinue.
Rappelons qu’une partie N de F est équicontinue si
∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x, y ∈ [0, 1], ∀ f ∈ N, |x − y| ≤ δ ⇒ | f (y) − f (x)| ≤ ε.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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