Chapitre VII • Opérateurs compacts
Il nous faut ici l’équisommabilité des colonnes de la matrice, alors que dans le cas de
E =
1 il fallait l’équisommabilité des lignes.
Exercice VII.11
(1) h est continue sur l’ensemble compact, connexe I = [0, 1] ; l’ensemble de ses
valeurs est donc un intervalle fermé J = h(I) = [a, b] ⊆ [0, 1].
A est évidemment linéaire. Chaque A f = f ◦ h est le produit de composition de deux
fonctions continues, donc est une fonction continue : A f ∈ E.
De plus,
f ∈ E =⇒ ⇒A f u = sup
x∈I
| f (h(x))| = sup
y∈J
| f (y)| ≤ ≤ f u ,
donc A f u ≤ ≤ f u . A est continue et de norme majorée par 1.
Si pour tout x, f 0 (x) = 1, alors A f 0 = f 0 ( f 0 est vecteur propre de A pour la valeur
propre 1), d’où A = 1.
(2) (i) Si h est constante.
Utilisons la fonction f 0 de la question (1).
On écrit h = c f 0 , c ∈ [0, 1]. Alors pour tout x, f [h(x)] = f (c) et donc A f = f (c) f 0 , ce qui
montre que A est compact, car de rang 1.
(ii) Si h n’est pas constante.
On a alors a < b, avec les notations de (1). On utilise la propriété (P 7.8) de manière
à montrer le caractère non compact de A. Il suffit de mettre en évidence une suite ( f n )
de fonctions de la boule unité fermée de E, telle que (A f n ) n’admette pas de sous-suite
convergente. On considère pour cela la suite de fonctions définies par
f n (x) = e
2iπn
x−a
b−a , x ∈ I, telle que f n u = 1 pour tout n ∈ N
∗
.
Lorsque p, q ∈ N
∗ et p < q, on a
A f q − A f p u = sup
y∈J
| f q (y) − f p (y)| = sup
y∈J
|e
2iπq
y−a
b−a − e
2iπp
y−a
b−a y
|
= sup
z∈I
|e
2iπqz
− e
2iπpz
| = sup
z∈I
|1 − e
2iπ(p−q)z
| = 2,
comme on le voit en donnant à z la valeur z =
1
2(q−p) ∈ I. (Noter que z =
y−a
b−a parcourt
I quand y parcourt J.) La suite des images par A de la suite ( f n ) considérée n’admet
aucune sous-suite convergente, et A n’est pas compact.
Exercice VII.12
Soit A un opérateur compact sur E, M la boule unité fermée de E, puis N = A(M),
relativement compact (cf. D 7.5), et ε > 0. D’après le théorème d’Ascoli-Arzela ((P 2.3),
partie facile), N est équicontinu. Il existe donc δ > 0 tel que
pour tout g ∈ N, pour tous x, y ∈ [0, 1], |x − y| ≤ δ =⇒ |g(x) − g(y)| ≤ ε.
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Il nous faut ici l’équisommabilité des colonnes de la matrice, alors que dans le cas de
E =
1 il fallait l’équisommabilité des lignes.
Exercice VII.11
(1) h est continue sur l’ensemble compact, connexe I = [0, 1] ; l’ensemble de ses
valeurs est donc un intervalle fermé J = h(I) = [a, b] ⊆ [0, 1].
A est évidemment linéaire. Chaque A f = f ◦ h est le produit de composition de deux
fonctions continues, donc est une fonction continue : A f ∈ E.
De plus,
f ∈ E =⇒ ⇒A f u = sup
x∈I
| f (h(x))| = sup
y∈J
| f (y)| ≤ ≤ f u ,
donc A f u ≤ ≤ f u . A est continue et de norme majorée par 1.
Si pour tout x, f 0 (x) = 1, alors A f 0 = f 0 ( f 0 est vecteur propre de A pour la valeur
propre 1), d’où A = 1.
(2) (i) Si h est constante.
Utilisons la fonction f 0 de la question (1).
On écrit h = c f 0 , c ∈ [0, 1]. Alors pour tout x, f [h(x)] = f (c) et donc A f = f (c) f 0 , ce qui
montre que A est compact, car de rang 1.
(ii) Si h n’est pas constante.
On a alors a < b, avec les notations de (1). On utilise la propriété (P 7.8) de manière
à montrer le caractère non compact de A. Il suffit de mettre en évidence une suite ( f n )
de fonctions de la boule unité fermée de E, telle que (A f n ) n’admette pas de sous-suite
convergente. On considère pour cela la suite de fonctions définies par
f n (x) = e
2iπn
x−a
b−a , x ∈ I, telle que f n u = 1 pour tout n ∈ N
∗
.
Lorsque p, q ∈ N
∗ et p < q, on a
A f q − A f p u = sup
y∈J
| f q (y) − f p (y)| = sup
y∈J
|e
2iπq
y−a
b−a − e
2iπp
y−a
b−a y
|
= sup
z∈I
|e
2iπqz
− e
2iπpz
| = sup
z∈I
|1 − e
2iπ(p−q)z
| = 2,
comme on le voit en donnant à z la valeur z =
1
2(q−p) ∈ I. (Noter que z =
y−a
b−a parcourt
I quand y parcourt J.) La suite des images par A de la suite ( f n ) considérée n’admet
aucune sous-suite convergente, et A n’est pas compact.
Exercice VII.12
Soit A un opérateur compact sur E, M la boule unité fermée de E, puis N = A(M),
relativement compact (cf. D 7.5), et ε > 0. D’après le théorème d’Ascoli-Arzela ((P 2.3),
partie facile), N est équicontinu. Il existe donc δ > 0 tel que
pour tout g ∈ N, pour tous x, y ∈ [0, 1], |x − y| ≤ δ =⇒ |g(x) − g(y)| ≤ ε.
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