2. Solutions
Écrivons chaque Ae n sous la forme « matricielle » suggérée par l’énoncé :
Ae n =
∞
j=1
a n, j e j ∈ N.
P étant comme ci-dessus, posons u n =
P
j=1 a n, j e j , puis définissons un opérateur de rang
fini A ε proche de A par la formule :
A ε x =
∞
n=1
x n u n , avec Ae n − u n =
j>P
|a n, j | ≤ ε.
L’opérateur A ε est bien de rang fini car ImA ε ⊂ Vect(e 1 , . . . , e P ). Et enfin A − A ε ≤ ε,
car
Ax − A ε x ≤
∞
n=1
|x n ||Ae n − u n ≤
∞
n=1
|x n |ε = εx.
Ceci achève la question, puisque A est limite en norme d’opérateurs de rang fini.
Notons qu’on a approché A par un opérateur de rang fini en substituant à la famille des
Ae n une famille u n de rang fini « voisine ».
On peut aussi remarquer que l’on a la conclusion de la propriété (P 7.12), c’est-à-dire
K(E) = K 0 (E), bien que l’espace E n’ait pas une structure d’espace de Hilbert. Remarquons enfin, en termes de matrice, que la compacité de A équivaut à la condition
d’équisommabilité suivante :
Pour tout ε > 0, il existe P entier tel que sup
n∈N ∗
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
j>P
|a n, j |
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ≤ ε.
(3) (i) Le dual de c 0 = F. Comme on l’a vu dans l’Ex. II.7, question (6), ce dual
s’identifie isométriquement à
1
= E. Notons que la « base » canonique (δ n ) de F,
δ n ( j) = δ n, j a pour base duale dans E = F
∗ la « base » canonique (e n ) de E, à savoir
e n , δ m = δ m,n (D 1.15).
(ii) K(F). Écrivons matriciellement Aδ n =
∞
j=1 a n, j δ j . Alors, l’opérateur transposé A
: F → F est défini par la matrice transposée sur la « base » duale (P 4.2) :
A
e n =
∞
j=1
a j,n e j .
De plus, on sait que [A ∈ K(F)] ⇔ [A
∈ K(F
∗ )] (P 6.13).
On peut donc utiliser la caractérisation trouvée en (2), et on obtient pour la compacité de
A : F → F la condition nécessaire et suffisante suivante :
Pour tout ε > 0, il existe P entier tel que sup
n∈N ∗
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
j>P
|a j,n |
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ≤ ε.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Écrivons chaque Ae n sous la forme « matricielle » suggérée par l’énoncé :
Ae n =
∞
j=1
a n, j e j ∈ N.
P étant comme ci-dessus, posons u n =
P
j=1 a n, j e j , puis définissons un opérateur de rang
fini A ε proche de A par la formule :
A ε x =
∞
n=1
x n u n , avec Ae n − u n =
j>P
|a n, j | ≤ ε.
L’opérateur A ε est bien de rang fini car ImA ε ⊂ Vect(e 1 , . . . , e P ). Et enfin A − A ε ≤ ε,
car
Ax − A ε x ≤
∞
n=1
|x n ||Ae n − u n ≤
∞
n=1
|x n |ε = εx.
Ceci achève la question, puisque A est limite en norme d’opérateurs de rang fini.
Notons qu’on a approché A par un opérateur de rang fini en substituant à la famille des
Ae n une famille u n de rang fini « voisine ».
On peut aussi remarquer que l’on a la conclusion de la propriété (P 7.12), c’est-à-dire
K(E) = K 0 (E), bien que l’espace E n’ait pas une structure d’espace de Hilbert. Remarquons enfin, en termes de matrice, que la compacité de A équivaut à la condition
d’équisommabilité suivante :
Pour tout ε > 0, il existe P entier tel que sup
n∈N ∗
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
j>P
|a n, j |
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ≤ ε.
(3) (i) Le dual de c 0 = F. Comme on l’a vu dans l’Ex. II.7, question (6), ce dual
s’identifie isométriquement à
1
= E. Notons que la « base » canonique (δ n ) de F,
δ n ( j) = δ n, j a pour base duale dans E = F
∗ la « base » canonique (e n ) de E, à savoir
e n , δ m = δ m,n (D 1.15).
(ii) K(F). Écrivons matriciellement Aδ n =
∞
j=1 a n, j δ j . Alors, l’opérateur transposé A
: F → F est défini par la matrice transposée sur la « base » duale (P 4.2) :
A
e n =
∞
j=1
a j,n e j .
De plus, on sait que [A ∈ K(F)] ⇔ [A
∈ K(F
∗ )] (P 6.13).
On peut donc utiliser la caractérisation trouvée en (2), et on obtient pour la compacité de
A : F → F la condition nécessaire et suffisante suivante :
Pour tout ε > 0, il existe P entier tel que sup
n∈N ∗
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
j>P
|a j,n |
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ≤ ε.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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