Chapitre VII • Opérateurs compacts
On constate sur (VII.28) que
Pour tout n ∈ N
∗
, Be n = Be 1 .
(VII.29)
Mais B est compact, donc le membre de gauche de (VII.29) tend vers zéro quand n → ∞
(cf. P 9.11), et par suite on a
Be 1 = Be 2 = . . . = Be n = . . . = 0.
Les e n formant une base orthonormale de H, il en résulte que B = 0, CQFD.
(ii) S non compact. Ceci est par exemple une conséquence de (i) puisque S commute
avec S et est non nul !
Exercice VII.10
(1) On va montrer que
A ∈ L(E) ⇐⇒ sup
n∈N ∗
Ae n < ∞.
(i) Condition nécessaire. C’est évident :
Comme, pour tout n, e n = 1, on doit avoir, pour tout n, Ae n ≤ ≤A.
(ii) Condition suffisante. Soit h = sup n∈N ∗ Ae n < ∞, et soit x ∈ E. Par définition, x peut s’écrire comme une série absolument convergente dans E : x =
∞
n=1 x n e n ,
avec x n ∈ C et
∞
n=1 |x n | < ∞. On peut alors poser Ax =
∞
n=1 x n Ae n , car la série considérée est absolument convergente dans E : x n Ae n ≤ |x n |h. De plus, on voit que
Ax ≤
sup
n
Ae n
∞
n=1
|x n | = hx.
A est donc continue, et sa norme vaut h.
(2) (i) L’implication ⇒ C’est l’application directe de la définition (D 7.5) ;
M = {e n , n ∈ N
∗
} est borné, donc son image A(M) doit être relativement compacte.
(ii) L’implication ⇐ Posons N = A(M). C’est par hypothèse un compact. Soit
( f p ) la suite de fonctions définies sur N par
f p (x) =
j>p
|x j | pour x = (x j ) j∈N ∗ ∈ N.
La suite ( f p ) est une suite décroissante de fonctions continues sur le compact N (puisque
| f p (x) − f p (y)| ≤ ≤x − y), de limite nulle. D’après le théorème de Dini, elle converge
uniformément vers 0 sur N, autrement dit :
Pour tout ε > 0, il existe P = P(ε) tel que
j>P
|x j | ≤ ε si x ∈ N.
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