2. Solutions
Exercice VII.8
La compacité de T résulte de la continuité uniforme de K et du théorème d’Ascoli (cf.
Ex. VIII.2). Pour le calcul de T , posons L(x) =
1
0
|K(x, t)|dt. D’après les propriétés
élémentaires des intégrales dépendant d’un paramètre, la fonction L est continue sur
[0, 1], soit M = L ∞ .
(1) On écrit, pour 0 ≤ x ≤ 1 :
|T f (x)| ≤
1
0
|K(x, t)|| f (t)|dt ≤ ≤ f ∞
1
0
|K(x, t)|dt = L(x) f ∞ ,
d’où en passant au sup sur x : T f ∞ ≤ M f ∞ . Cela montre que T ∈ L(E) et que
T ≤ M. Pour montrer que cette inégalité est une égalité, on utilise les notations et
résultats de l’Ex. III.3. Soit x 0 ∈ [0, 1] tel que L(x 0 ) = M, et g(t) = K(x 0 , t), g ∈ E. On a
T f ∞ ≥ ≥T f ∞ ≥ |T f (x 0 )| =
1
0
g(t) f (t)dt
= |A g ( f )|,
d’où bien sûr T ≥ ≥A g . Et l’on a A g = g 1 = L(x 0 ) = M d’après l’Ex. III.3 (2), ce
qui montre bien que T = M.
(2) D’après le cas général précédent, on a T =
1
0
e
1+t dt = e(e − 1).
On écrit (T f )(x) = e
x
1
0
e
t f (t)dt, ce qui montre que T est un opérateur borné de rang 1.
Si on note A l’élément du dual de E défini par f →
1
0
e
t f (t)dt et g la fonction g(x) = e
x ,
on a plus précisément
T f = f, Ag, soit T = g ⊗ A, avec les notations de (D 7.3).
T est un opérateur borné de rang un, donc compact. Alors, 0 ∈ σ(T ) et σ(T ) \ {0} est
l’ensemble des valeurs propres non nulles de T (P 7.15).
L’espace propre correspondant à une valeur propre non nulle est inclus dans Im(T ), c’est
donc Vect(g). Il y a alors une seule valeur propre non nulle et l’égalité T g = g, Ag
montre que cette valeur propre est g, A =
e
2 −1
2 .
σ(T ) =
0,
e
2
− 1
2
.
Notons que l’égalité T = e(e − 1) se lit aussi T = g ∞ A.
Exercice VII.9
S a été plusieurs fois considéré, on sait (cf. Ex. IV.5) que S ∈ L(H) et est isométrique
(D 4.16).
(i) {S}
, commutant de S. Soit B ∈ L(H) compact tel que S B = BS . Ceci entraîne,
S étant une isométrie :
Pour tout n ∈ N
∗
, S Be n = BS e n = Be n+1 , et Be n = Be n+1 .
(VII.28)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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