Chapitre VII • Opérateurs compacts
(2) (i) σ(T).
T est un opérateur linéaire continu de rang 1, son spectre est donc constitué de {0} et de
l’ensemble des valeurs propres non nulles (P 7.15).
Une valeur propre non nulle possède un espace propre inclus dans l’image, donc la seule
possibilité ici est Vect(x 0 ). T x 0 = x 0 , f x 0 .
x 0 , f est donc la seule valeur propre non-nulle, et
σ(T ) = {0, x 0 , f }.
(VII.22)
(ii) Opérateur résolvant de T.
(a) Première méthode. On peut chercher, pour λ {0, x 0 , f }, à résoudre en
x l’équation y = T x − λx où y est arbitrairement donné dans E.
y = x, f x 0 − λx.
(VII.23)
En faisant agir f sur les deux membres, on a
y, f = x, f (x 0 , f − λ), soit x, f =
y, f
x 0 , f − λ
.
(VII.24)
Reportant cette valeur de x, f dans (VII.23), on obtient
x = λ
−1
y, f
x 0 , f − λ
x 0 − y
,
donc x = Ay où
A = −λ
−1 I + [λ(x 0 , f − λ)]
−1 x 0 ⊗ f.
(VII.25)
(b) Deuxième méthode. (VII.21) nous fournit l’égalité
(T − λI + λI)
2
= x 0 , f (T − λI + λI).
(VII.26)
On déduit, en mettant (T − λI) en facteurs,
(T − λI)(T + (λ − −x 0 , f )I) = λ(x 0 , f − λ)I, donc
(T − λI)
−1
= [λ(x 0 , f − λ)]
−1 (T + (λ − −x 0 , f )I), et
(T − λI)
−1
= −λ
−1 I + [λ(x 0 , f − λ)]
−1 T.
(VII.27)
(VII.27) coïncide avec (VII.25). Heureusement !
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