2. Solutions
En effet, si (VII.19) a lieu, la série
∞
n=1 a n x n est absolument convergente par l’inégalité
de Cauchy-Schwarz, et de plus
B(x) = |
∞
n=1
a n x n | ≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
|a n |
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
2
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
|x n |
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
2
= a 2 x,
en notant a = (a n ) n∈N ∗ et a 2 = (
∞
n=1 |a n |
2 )
1
2 . Si bien que B ≤ ≤a 2 . Et puisque B est
de rang 1, on a B ∈ K 0 (H), a fortiori B ∈ K(H).
Réciproquement, si B continu existe, soit x N =
N
n=1 a n e n . Alors, on a :
Bx N = |
N
n=1
a n a n | ≤ ≤Bx N ,
(VII.20)
autrement dit
N
n=1 |a n |
2
≤ ≤B(
N
n=1 |a n |
2 )
1/2 , d’où
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
|a n |
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/2
≤ ≤B.
En faisant tendre N vers l’infini, on voit que (VII.19) a bien lieu.
(3) On peut adapter la démarche de (1) ou noter que C est déduit de A par multiplication par S ∈ L(H) « défini » par S e n = e n+1 pour tout n ∈ N
∗ . On a alors C = S A.
S est continue (Ex. IV.5) ; donc si A est continue (resp.compacte), C est aussi continue(resp.compacte).
S est inversible à gauche (Ex. IV.5) ; donc si C est continue (resp.compacte), A est aussi
continue (resp.compacte).
La continuité (resp. compacité) de C a donc lieu dans les mêmes conditions que celle
de A.
Exercice VII.7
On note, selon (D 2.9) et (D 7.3), f (x) = x, f et T = x 0 ⊗ f . D’après (P 7.4) T ∈ L(E),
et T = f x 0 .
(1) Calculons T
2 ; nous avons T 0 car T x 0 0, et
T
2 x = x, f T x 0 = x, f x 0 , f x 0 = x 0 , f T x, soit
T
2
= x 0 , f T.
(VII.21)
T est donc une projection si et seulement si x 0 , f = 1.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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