Chapitre VII • Opérateurs compacts
ce qui montre de plus que A est continu avec une norme ≤ ≤a ∞ . Il est facile de vérifier
qu’en fait A = a ∞ .
Posons maintenant λ = lim n→∞ |a n | et d = d(A, K(H)). Soit K ∈ K(H). Nous avons pour
tout n :
A − K ≥ ≥A(e n ) − K(e n ) ≥ ≥A(e n ) − −K(e n ) = |a n | − −K(e n ),
soit encore |a n | ≤ ≤K(e n ) + A − K. Passons à la limite sup dans cette inégalité en nous
rappelant que K(e n ) → 0 puisque K est compact et (e n ) orthonormée (cf. P 9.11). Il vient
λ ≤ ≤A − K, puis λ ≤ d, en passant à la borne inférieure sur K. Inversement, pour tout
entier N ≥ 1, soit K N l’opérateur défini, comme l’était A, par
K N (e n ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a n e n si n ≤ N
0
sin > N
L’opérateur K N est compact car de rang fini, et on a
(A − K N )(e n ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
sin ≤ N
a n e n si n > N
Il résulte de ce qui précède, puisque A − K N est de même nature que A,
que d ≤ ≤A − K N = sup n>N |a n | puis que, par définition même d’une lim sup :
d ≤ inf N (sup n>N |a n |) = λ. On a bien obtenu
d = λ.
(VII.17)
(ii) A compact ? On déduit immédiatement de ce qui précède que :
A compact ⇐⇒ d = 0 ⇐⇒ λ = 0 ⇐⇒ a n → 0.
(VII.18)
La condition (VII.18) est donc le critère de compacité de A.
(2) Comme en (1), nous sommes « obligés » de définir B par la formule
B
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
x n e n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
a n x n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ e 1 ,
pour toute suite (x n ) de carré sommable, i.e. telle que
∞
n=1 |x n |
2
< ∞. Nous devons donc
avoir
∞
n=1
|x n |
2
< ∞ =⇒
∞
n=1
a n x n converge.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi est que
∞
n=1
|a n |
2
< ∞.
(VII.19)
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